Hidrológiai Közlöny 1995 (75. évfolyam)

2. szám - Gáspár Csaba–Józsa János–Simbierowicz, Pawel: Új szemléletmód a numerikus hidraulikában. IV. Áramlási és transzportfolyamatok Langrange-féle modellezése egyenlőtlen hálók használatával

78 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1995. 75. ÉVF. 2. SZ^JVI melyeknél az advekciónak és a diffúziónak a transzportfolyamatban képviselt relatív súlyát kifejező Péclet-szám nagy, ha a szennyezőanyagfelhő vagy csóva éles koncentrációgradienseket tartalmaz, vagy ha az advektív sebességmezőt nagy gradiensek ill. erős áramvonalgörbületek jellemzik. Amint az jól ismert, az advekció szimulálásánál fellépő nemkívánatos hibák egyike a hamis, ún. numerikus diffúzió. Utóbbi jelenléte elsősorban a koncentrációcsűcsok és -frontok, de lényegében a teljes szennyezőanyagtömeg mesterséges szétkenésében nyilvánul meg. Ebből kifolyólag hatása számos gyakorlati esetben veszélyes mértékűén félrevezető lehet: megadott kritikus küszöbértéket a valóságban meghaladó koncentrációkat a szimuláció alábecsli, míg ezzel egyidejűleg a szennyezett terület nagyságát túlbecsli. Áramlási problémák modellezése esetén (még ha az áramlás kétdimenziósnak tekinthető is) gyakorta előfordul, hogy az áramlást a nagy sebességgradiensek jellemzik. Tipikusan ilyen a helyzet a Kelvin-Helmholz-féle instabilitás kialakulásakor. Ennek idealizált kezdeti feltétele, amikor két, egymástól jelentősen eltérő sebességű áramlási tér egy nagy örvényességgel jellemezhető határfelület mentén érintkezik. Ennek a határfelületnek a helyzete rendkívül instabil, és időben jellegzetes felcsavarodó mozgást mutat. A kétdimenziós áramlások esetén általában a sebességprofilokban jelentkező inflexiós pontok helyein alakulhatnak ki "kvázi-2-dimenziós" terjedő örvények (Lesieur (1987)), melyeket egyaránt jellemez az éles sebességgradiensek jelenléte és az időbeli gyors változás, azaz az erősen nempermanens állapot. Ilyen áramlások helyes numerikus modellezése már csak azért is fontos, mert a vízben oldott vagy lebegő anyagok rétegek közötti átkeveredése legintenzívebben épp az ilyen részeken és az ilyen folyamatok által megy végbe. A helyes numerikus modellezés kulcskérdése pedig ismét az advekció korrekt, numerikus diffúziótól mentes számítása. A probléma szoros kapcsolatban van a fenti transzport problémával. Ismert ui., hogy a kétdimenziós Navier-Stokes-egyen\etek felírhatok örvényfüggvény-áramfüggvény alakban (részletesebben ld. később), ahonnan világosan látszik, hogy az áramlási egyenlet nem más, mint az az örvényességre vonatkozó (nemlineáris) transzportegyenlet. Megjegyzések: A folyamat a konzervatív transzporttól mindazonáltal két lényeges pontban különbözik, nevezetesen: 1. Fellép egy advekciót nem tartalmazó részprobléma, mégpedig egy, az áramfüggvényre vonatkozó Poissonegyenlet: látni fogjuk, hogy ennek numerikus megoldása hasonló problémákat vet fel, mint a transzportfolyamatokban a diszperzió figyelembevétele. 2. A konzervatív szennyezőanyag-terjedéstől eltérően, a transzportálódó örvényesség jelentősen visszahat magára az áramlásra is (mégpedig nemlineáris módon). Áttekintve az ilyen problémák megoldására rendelkezésre álló numerikus módszereket, kitűnik, hogy a múltban a legtöbb energiát a rögzített térhálót használó, Euler-féle rendszerben értelmezett eljárások kifejlesztésébe fektették. Mivel Euler-féle rendszerben szokás szerint az advektív tagok közelítése a numerikus diffúzió forrása, a fejlesztést az advektív tagok korrekt kezelésére összpontosították. Még ha magasabbrendű irányított (ún. "upwind") sémákat használunk is (ld. pl. Patel és Markatos (1986), éles koncentrációfrontok közelítésében további javulást csak helyi hálófinomításokkal érhetünk el. Ezt az elgondolást alkalmazta permanens állapotra vonatkozó számításaiban Thompson és Ferziger (1989). Ok egy automatikus, adaptív hálófinomítási eljárást használtak a kétdimenziós, összenyomhatatlan folyadékmozgást leíró Na vier-Stokes-egyenletek üregben létrejövő áramlásra való megoldására nagy Reynolds-szám esetén. Eljárásukban a hálófinomítást, melyet a közelítő megoldásban fellépő helyi csonkítási hiba vezérelt, a többhálós (multigrid) iterációs módszerrel kapcsolták össze, mégpedig oly módon, hogy a nagy hibák tartományában egymásra fekvő, téglalap alakú foltokban finomabb hálófelbontást generáltak. Görbevonalú koordinátarendszerben dolgozva Dannenhoffer (1988) a helyi hálófinomításnak két lehetséges módját mutatta be a hangsebesség feletti áramlásokban fellépő áramlásokban fellépő, nagy sűrűséggradiensek kísérte lökéshullámok numerikus "megfogására". Túlmenően a fentiekben említett, foltszerű, helyi hálófinomításon, megmutatta, hogy finomabb hálófelbontás a hálópontok adaptív átrendezése, azok éles sűrűséggradienshez való "odavonzása" útján is elérhető. Időfüggő feladatok szimulációjában a differenciáloperátor részekre bontásának (partícionálásának) elve alapján egy sor, részben Lagrange-iéle módszer került kifejlesztésre, mely kiküszöböli az advektív deriváltak közvetlen számításának szükségességét. E módszerek többségében a fennmaradó advekciós problémát Euler-féle rendszerben oldják meg. Ha az utóbbi egy rögzített háló használatát jelenti, a Lagrange-féle és az Euler-féle rendszer közötti információátvitel valamilyen interpoláció beiktatását igényli, ami azonban megint több-kevesebb numerikus diffúziót eredményez. Különleges esetekben az advekció teljes egészében kiküszöbölhető azzal, ha a háló csomópontjai az advektív sebességgel mozognak. Sebességnyírás jelenlétében azonban az eljárás alkalmazása nehézségbe ütközik, mivel a kezdetben szabályos háló előbb-utóbb szükségképpen deformálódni fog, így időről időre egy űj, szabályos hálóra kell áttérni, ami ismét interpolálást igényel. A numerikus módszerek egy másik osztályát az ún. teljes Lagrange-féle módszerek alkotják, melyek teljesen mentesek a hagyományos, strukturált hálóktól. Ezeknél a kulcskérdés az advekció kiküszöbölését követően fennmaradó probléma - ami esetünkben a diffúzió - minél hatékonyabb algoritmussal való megoldása. E körben pl. egy sor ún. részecske módszer került kifejlesztésre, melyekben a transzportált tömeget nagyszámú, fiktív részecskékbe koncentráltan diszkretizálják. Az advekciót a részecskéknek a karakterisztika görbéken való elmozdításával szimulálják, míg a diffúzió vagy determinisztikus úton (Raviart (1986)), vagy véletlen bolyongással vehető figyelembe (Bugliarello és Jackson (1964); Józsa (1988)). Utóbbi módszer egyik jellemző alkalmazási területe a felszíni olajfoltos teijedésének szimulálása (ld. még Shen el al (1987)), ahol azonban esetenként igen