Hidrológiai Közlöny 1995 (75. évfolyam)
5. szám - Bakucz Péter: Fraktálgeometria: rövid bevezetés a hidraulikai alkalmazásokhoz
BAKUL'/ P.: 1-raklálgeometna .105 önhasonlóság vizsgálata volt. Ezt azzal magyarázta, hogy a természet is sok szempontból önhasonló valamint, hogy az önhasonlóság révén a számítógépes szimuláció könnyen végrehajthatóvá válik. Mandelbrot munkássága egy tudományos lavinát indított meg, s vált a fraktálgeometria a legkülönbözőbb területek (fizika, kémia, biológia, közgazdaságtan) elméleti vizsgálatainak alapjává. 3. Fraktáldimenzió E fejezet tárgyalását egy paradoxon bemutatásával kezdjük. Amennyiben pl. Hollandiában kezünkbe veszünk egy atlaszt láthatjuk, hogy a Németországgal közös határszakasz hossza eltérő a Németországban olvashatótól. Mi ennek az oka? A pontatlan geodéziai felmérés? A nyomda ördöge? Nem, a határvonal fraktáljellege, fraktáldimenziója (Mandelbrot, 1967) A fraktáldimenzió első megközelítése Hausdorfftól származik. Ez egy hasonlósági dimenzió, amelyben a geometriai mérték felbontását vizsgálták (Falconer, 1985). Tekintsünk egy egységhosszú egyenes szakaszt. Osszuk fel 5 egyenlő részre. Definiálhatunk egy r paramétert, amely esetünkben r= 1/5=0,2. N legyen a felbontott részek száma, esetünkben N=5. Az un. Hausdorff dimenzió definíció szerint: grafika fejlődésének köszönhetően területén nagy eredményeket értek el. Itt elsősorban a komplex változós egyenletek egyes iterációval történő megoldására gondolunk, amelyeknek hidraulikai hagyományai jelentősek (Németh, 1963). yv yv ^"^y Ijv D = log (N) / log (1/r) Látható, hogy az egyenes szakasz esetén D = 1. Eképpen az egyenes szakasz egydimenziós, triviálisan önhasonló objektum. Tekintsük most az un. geografikus Koch-görbét {4.ábra). Az ábrából látható, hogy r= 1/3, N=4, azaz D= log4/log3 = 1,2619. A Koch-görbe tehát egy olyan alakzat amely nemtriviálisan önhasonló, azaz Mandelbrot elnevezése szerint fraktál. Fraktáldimenziója D= 1,2619. Ezek után a fejezet bevezetésében megemlített paradoxon is világossá válik, hiszen az országhatár hosszára D > 1 fraktáldimenzió érvényes. A határvonal hossza az r-től, a felbontástól jelentősen függ. Amennyiben nem rettenünk vissza bizonyos absztraktságtól, definiálhatjuk a fraktált úgy is, mint amikor az adott objektumra vonatkoztatott tömeg és lineáris méret nenitriviális módon skálázódik. A kivetvő pedig az adott objektum fratkáldimenziója (Viesek, 1988). 4. A fraktálok és a káosz Az időben kaotikus viselkedést mutató determinisztikus rendszerek számos vonatkozásban kapcsolatosak fraktálokkal. A káosz és a fraktálgeometria kapcsolata nem egyszerű, noha ez volt az új geometria első természettudományi alkalmazása és a számítógépes 4.ábra. A geografikus Koch-görbe származtatása Fig.4. Generating a von Koch curve. Tekinthető a komplex síkon a következő egyszerű leképezés: z,, + 1=z 2„ + c uG |1,2,..J Mandelbrot megjegyzi: "Nem is olyan régen azt a gondolatot, hogy egy efféle kvadratikus nemlinearitás bármiféle érdekességre vezetne, mindenki kinevette volna." (Mandelbrot, 1988). De amennyiben ezt a leképezést nagy számban iteráljuk és tekintjük a komplex síkon azon z„ számok z,,=0-ből induló sorozatát amelyek nem futnak ki a végtelenbe, majd ezt ábrázolva egy igen érdekes alakzatot, az un "Mandelbrot halmazt" nyerhetjük (5.ábm). Ez az ábra a fraktálgeometria jelképe lett az elmúlt években, konferenciák, iskolák választották emblémájuknak. A Mandelbrot-halmaz azonban nemcsak egy tetszetős alakzat, hanem mechanikai tartalommal is bír, amit ismét csak egy kis absztraktsággal lehet értelmezni. A Mandelbrot halmazból ugyanis a káoszkutatás egyik alapető fogalma a határciklus tűnik elő. Megjegyzés: A határciklust a nemlineáris rendszerek mozgásegyenleteire vonatkoztatott trajektóriák
