Hidrológiai Közlöny 1995 (75. évfolyam)
3. szám - Gáspár Csaba–Szél Sándor–Maginecz János: Szivárgáshidraulikai folyamatok vizsgálata numerikus modellezés és kisminta kísérletek útján
140 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1995. 75. ÉVF. 2. SZ^JVI =<p' +6 (6) alakban, ahol a ő korrekciós tag kielégíti Ab=f-A<p' < 7 ) űn. maradékegyenletet. (7) megoldása természetesen az eredeti (5) feladattal azonos bonyolultságú. A multigrid ötlet lényege itt az, hogy (7)-et - jó közelítéssel - elég egy durvább hálón megoldani (ezzel megtörténik a (6) korrekció nagyléptékű végrehajtása), majd a (6) által adott javított megoldásra néhány Seidel-iterációt alkalmazva, a korrekció finom léptékben is végbemegy. A (7) maradékegyenlet pedig - (5)-höz hasonló szerkezetű lévén - ugyanilyen módon oldható meg egy még durvább háló bevezetésével, s.í.t. Tényleges egyenletmegoldásra tehát ismét csak a legdurvább hálón van szükség. A maradékegyenletek megjelenése azzal is jár, hogy a kiterjesztés mellett szükség van most már a finom hálóról a durvább hálóra való áttérésre - leszűkítésre - is, mely a kiterjesztéshez hasonlóan, egyszerű súlyozási technikával definiálható. Az eljárást tovább nem részletezzük: ld. Brandt (1984); Hackbusch (1985b); ill. Gáspár (1991). A gyakorlati tapasztalatok szerint a fenti multigrid módszer a megoldás gépidejét IBM-kompatibilis 486/50 MHz-es személyi számítógépet használva, ezres nagyságrendű rácspontszám esetén néhány másodpercre csökkenti. Az áramfüggvény meghatározása A stacionárius kétdimenziós szivárgás a potenciálfüggvényen kívül jól jellemezhatő még a áramfüggvénnyel is. Tegyük fél, hogy a szivárgási tatomány egyszeresen összefüggő (azaz a tartományban nincsenek "lyukak" vagy "szigetek"). Ismeretes, hogy ekkor létezik olyan \[/ skalárfüggvény, hogy Öx -k- — dv (8) dy ges, P-t és Q-t összekötő görbe (mely teljes egészében a szivárgási tartomány belsejében halad), akkor i(Q)-HP) = dy dx (10) ahol e jelöli a T menti tangenciális irányú egység vektort. (10) kiértékeléséhez egyenletmegoldás nyilván nem szükséges. A P pontot rögzítve, 0-val pedig végigfutva a szivárgási tartomány belsején, az áramfüggvényt megkapjuk. A probléma most már (10) diszkretizált kiértékelése. Ez multigrid technikát nem igényel: a számítást a legfinomabb hálón kell végrehajtani. E célból a (^-értékektől eltérően, a diszkrét i^-értékeket a cellaközéppontokhoz rendeljük. Két szomszédos cellaközéppontot összekötő szakaszon a (10) formula diszkrét megfelelőjét a következőképp definiáljuk (ld. a 4.ábrát): k E+k w <p N-<p s tE~tw ~ ~ ' : a z ( a) esetben ÍN-fs = — Ay k N+k s <p E-<p w (11) Ax a (b) esetben A (11) formulák összegzésével a diszkrét i^-értékek most már tetszőleges belső pontra számíthatók (rögzített P pontból kiindulva). Könnyen látható az is, hogy egy adott cellaközépponthoz hozzárendelt \p-érlék független a P-ből idevezető űt megválasztásától. Megjegyzés: Ennek belátásához elég azt megmutatni, hogy bármely zárt úton a (11) formulák által definiált vonalintegrál zérus. Elég ezt az 5.ábrán látható zárt négyszögvonalra igazolni (az általános eset ebből könnyen következik). Az 1. - 2. - 3. - 4. pontok mentén a diszkrét vonalintegrál: k\ + k2 f>S~fc + A + Ay Ax dx k 3+k 4 <p N-<p c <p w-ip c •Ax + • -Ay Ay Ax és ez a i/' függvény additív konstans erejéig egyértelműen meghatározott. Kérdés, hogyan lehet (a diszkrét) <p ismeretében ip (diszkretizált) értékeit előállítani. (8)-ból deriválásokkal azonnal adódik, hogy a áramfüggvény kielégíti a div-Igrad \p - 0 (9) = AxAy{ k{+k l•' P s~' P c + f >E~fc + Ar 2 Ar 2 <p N~<p c k 4+k { <p w-<p c Ay J ? A ~> L Ax differenciálegyenletet. Ezt - megfelelő peremfeltételekkel ellátva - elvben pontosan ugyanúgy lehet megoldani, mint a i/5-re vonatkozó, hasonló alakú (1) egyenletet. Sokkal egyszerűbb ennél azonban a következő módszer. (8)-ból integrálással könnyen adódik, hogy ha P, Q tetszőleges pontjai a szivárgási tartománynak, f pedig egy tetszőleEz a kifejezés pedig valóban zérus, tekintve, hogy a diszkrét <p-értékek kielégítik a (3) sémát. A diszkrét áramfűggvény kiszámításának algoritmusa tehát a következő. 1. Kiindulunk egy belső, P-vei jelölt cellaközéppontból, melyhez tetszőleges (például 0) ^-értéket rendelünk. 2. Vízszintes és függőleges, Ax ill. Ay hosszúságú
