Hidrológiai Közlöny 1995 (75. évfolyam)

3. szám - Gáspár Csaba–Szél Sándor–Maginecz János: Szivárgáshidraulikai folyamatok vizsgálata numerikus modellezés és kisminta kísérletek útján

135 Szivárgáshidraulikai folyamatok vizsgálata numerikus modellezés és kisminta kísérletek útján Gáspár Csaba Széchenyi István Főiskola, Matematika Tanszék 9007 Gyó'r, Hédervári út 3. Szél Sándor VITUKI Consult Rt. 1095 Budapest, Kvassay Jenő" út 1. Maginecz János VITUKI Rt. 1095 Budapest, Kvassay Jenő'út 1. kivonat: A szerzők az egyéb helyeken nagy sikerrel alkalmazott multigrid (többhálós) módszert alkalmazzák most szivárgáshidraulikai problémákra. Keresve a permanensDarcy-féle szivárgást leíró differenciálegyenlet numerikus megoldását, egy adott számítási hálón (rácson) egyszerű véges differenciasémákat használnak: az így előálló diszkretizált probléma megoldásának kiszámítása látványosan felgyorsítható azáltal, hogy egyidejűleg vesznek figyelembe egy sorozat, ennél durvább hálót is. Ezzel a szükséges számítási idő a ma használatos személyi számítógépeken másodperc nagyságrendűvé csökkenthető. Módszert adnak az áramjüggvény numerikus kiszámítására is. Az eredményeket valós modellkísérletek eredményeivel összevetve szemléltetik: a számítások és a mérések jó egyezést mutatnak, miáltal a módszer alkalmazásával bizonyos esetekben kiválthatőknak látszanak a költséges és a számításhoz képest igen lassú és sokkal kevésbé flexibilis modellkísérletek. Kulcsszavuk: numerikus hidraulika, szivárgás modellezése, háló. multigrid. számítástechnika Bevezetés Noha a szivárgáshidraulikai folyamatokat az általános Miv/Vr-Stote-egyenleteknél matematikailag egyszerűbb egyenletek írják le, ezek numerikus megoldása távolról sem tekinthető egyszerű feladatnak. Analitikus megoldás csak ritkán, igen speciális geometria és speciális peremfeltételek mellett van: legtöbbször csak valamilyen numerikus módszer alkalmazása jöhet szóba. Az ilyen módszereknek közös tulajdonságuk, hogy az eredetileg folytonos fizikai problémát diszkrétizálják, azaz a keresett ismeretlen függvényt (pl. a sebességpotenciált) nagyszámú, diszkrét pontbeli, a priori ismeretlen adattal helyettesítik: ezen ismeretlenekre nézve aztán legtöbbször egy lineáris algebrai egyenletrendszert (esetleg ilyenek sorozatát) kell megoldani. Ha az ismeretlen paraméterek száma nagy, akkor ennek az egyenletrendszernek numerikus megoldásához szükséges számítógépes ráfordítás rohamosan növekszik, és hamar komoly problémákat jelent a ma általánosan használt személyi számítógépeken, nem is beszélve még a numerikus stabilitási kérdésekről. Márpedig ahhoz, hogy az adott feladat diszkretizációja megfelelő térbeli finomsággal (ha úgy tetszik: térbeli felbontóképességgel) rendelkezzék, a diszkrét paraméterek számának kellően nagynak kell lennie: hogy pontosan mekkora ez a szám, az az alkalmazott konkrét módszer függvénye. Tekintsük a példa kedvéért a kétdimenziós permanens nyomás alatti Darcy-féle szivárgást. A legrégibb és legismertebb numerikus módszer az ilyen típusú problémák megoldására a véges differenciák módszere. Ekkor a szivárgási tartományt egy egyenletes, ekvidisztáns ráccsal fedjük le, az ismeretlen paramétereket pedig a rácspontokba koncentráljuk. A szivárgást leíró differenciálegyenletben fellépő deriváltakat véges differenciasémákkal helyettesítve, a peremfeltételeket pedig alkalmas módon figyelembevéve, az ismeretlen paraméterekre egy lineáris egyenletrendszert nyerünk. Az ismeretlenek száma kb. a rácsállandó négyzetével arányos fordítottan. Az egyenletrendszer mátrixa ritka mátrix: megoldására így direkt módszereket pl. G«w.y.r-eliminációt használni nem célszerű. Kihasználva a mátrix ritka (és sokszor szimmetrikus) voltát, több olyan megoldási módszer is létezik, melynek műveletigénye az ismeretlenek számának csak második hatványával arányos (a G«tm-elimináció műveletigénye, mint ismeretes, az ismeretlenszám harmadik hatványa szerint nő). Ilyen módszer pl. a konjugált gradiens módszer (Bahvalov, 1977) vagy a váltakozó irányok módszere (Young, 1979). A módszer fő előnye, hogy igen egyszerűen implementálható, adatstruktúrája nagyon egyszerű, és matematikailag jól analizálható. Nagy hátránya, hogy ha a térbeli felbontást növelni akarjuk, akkor ez csakis a rács sűrítésével tehető meg, éspedig az egész tartományon, még akkor is, ha a finomabb felbontásra a szivárgási tartománynak csak egy kis részén van szükség. A rács