Hidrológiai Közlöny 1994 (74. évfolyam)
4. szám - Gáspár Csaba–Józsa János–Simbierowicz, Pavel: Új szemléletmód a numerikus hidraulikában. II. Differenciasémák és multigrid módszerek egyenlőtlen hálókon
210 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1994. 74. ÉVF. 2. SZÁM N w • NW NE C • E w • SU SE • E s 8. ábra. Kiterjesztés definiálása súlyozási technikával rendelt érték változatlanul továbbadódik a gyermekeknek. A kitérj esztési operátor definiálásának egy másik módja, ha felhasználjuk a szülő-cella két legközelebbi oldal-szomszédját is (8. ábra). A regularitás miatt ezen szomszédok mindig léteznek, amennyiben szülő-cella nem illeszkedik a tartomány peremére. Legyen a kitelj esztés a következő formulákkal adott. (Öh"W • = 7 • (2u c + u N+ u w) (Qh")sw • - 7 • (2"c + "5 + <%) 4 (26) (Ö««W : = ^ • (2"c + % + "e) (QHU)se- = \- (2u c + U s+U e) A súlyozási technikának köszönhetően, ez a kiterjesztés az előbbinél sokkal „simább", azaz csekélyebb mértékű átviteli hibát (cellaméretű ingadozást) okoz. Ezek után minden szinten az előzőekben definiált sémákat használva, nincs elvi akadálya a multigrid technika alkalmazásának. Példaként tekintsük ismét az előző mintafeladatot. Megoldandó tehát Laplace-tgyenletre vonatkozó Dirichlet-feladat az egységnégyzeten: a pontos megoldást a (25) formula adja. Fektessünk a tartományra egy olyan QT-hálót, melyben a felbontásokat a tartomány pereme vezérli, a felbontás maximális szintje legyen ismét 5 (9. ábra). A fentiekben ismertetett legegyszerűbb, fokozatos finomításon alapuló multigrid technikát alkalmaztunk. A megoldás 0,005-nél nem nagyobb eltéréssel egybeesik az előzőekben kapott (egyenletes hálót alkalmazó) multigrid technikás megoldással. Ugyanakkor világos, hogy a megoldás még az előbbinél is kevesebb számítási munkát igényel, mert a cellák szá9. ábra. A Laplace-egyenletre vonatkozó mintafeladat: a perem által generált QT-háló max. felbontási szint: 5 ma a legfinomabb szinten most csak 316, míg egyenletes háló esetén az össz cellaszám 961: ez az arány finomabb felbontások esetén még jobb. Sorozatunk következő cikkében az ismertetett módszert sokkal konkrétabb feladatokra, nevezetesen, sekély tavakban végbemenő, szélkeltette áramlások számítására fogjuk alkalmazni. Megjegyzések: 1. A fenti mintapéldában a QT-háló a peremre sűrűsödik: más szóval, a háló a tartomány közepe felé haladva egyre ritkul. Az ilyen háló használata teljesen kézenfekvő az adott problémára, mivel a Laplaceegyenletnek, mint ismeretes, épp olyanok a megoldásai, hogy azok egyre simábbak a tartomány közepe felé haladva (más szóval, a magasfrekvenciás Fourier-komponensek rohamosan csökkennek a peremtől távolodva). így a megoldás reprezentálására a tartomány belsejében jóval ritkább rács is elegendő. Ezt a „gazdaságos" szemléletet a QT-háló használata eleve biztosítja. 2. A fenti mintapélda másik tanulsága, hogy a hálógenerálás, a diszkretizálás és a multigrid technika alkalmazása teljes mértékben automatizálható oly módon, hogy a folyamatot kizárólag a diszkrét perempontok vezérlik. Pontosan ugyanez a jellegzetességük a peremintegrálegyenlet módszereknek is (melyek egyébként szintén ötvözhetők multigrid módszerrel, ld. Gáspár (1990). Ily módon a perem által vezérelt QT-technika érdekes kapcsolatba hozható ez utóbbi módszerekkel: számításigény szempontjából pedig még ezeket is felülmúlja, ugyanakkor lényegesen általánosabb problémákra alkalmazható. Részletesebben ld. Gáspár (1992).
