Hidrológiai Közlöny 1994 (74. évfolyam)

3. szám - Gáspár Csaba–Józsa János–Simbierowicz, Pawel: Új szemléletmód a numerikus hidraulikában. I. Egyenlőtlen hálók: generálásuk, első alkalmazások

168 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1994. 74. ÉVF. 2. SZÁM 1 1 1 1 1 4—{ H= t«rli 1 1 1 rrír tj s F^ I uT e_ -fa-1 EB ÉH rriT! F9 PH T rr be M ÍL i tón 1 5L • hé i I prr! r iT" (a) nem reguláris 1 1 tt£H 1 1 1 ;., i I I Í i i i , ! ! 1 ! 1: r^ 1 U-=a ; í 1 i | r-»-n rrr 1 r ; l | l+r^ | ff +J '-U i r -H : r LL hr fT 1 i t_i 1 1 [L 1 T 5H 1 h fte 4H «-M ' 1 i 1 1 1 i i -r ] i-H I i 1 Hí 1 . í Hrr 7, rrrtS "íV;—r | hr i 1 (b) reguláris 4. ábra. Körvonal által generált QT-hálók. Maximális felbontási szint: 6 (4) írjuk át a cellához rendelt jelzőszámot 2-re, és ismételjük meg az algoritmust a (3) lépéstől kezdve a cella minden egyes oldal-szomszédjára. Az algoritmus a (4) lépésben visszahivatkozik önmagára, azaz rekurzív. Az eljárás befejeztével a belső cellákhoz, és csakis azokhoz, 2-es jelzőszám lesz rendelve. Az eljárás előnye, rendkívül egyszerű implementálhatóságán túlmenően az, hogy többszörösen összefüggő £2

0 tartományok esetén is jól működik (a tartományban akárhány „sziget" is lehet). Megjegyzés: A fenti algoritmus pontos megfelelője a számítógépes grafikában „kifestési algoritmusnak" nevezett eljárásnak. Itt a probléma a következő; raszteres grafikában egy adott zárt görbe belsejének, illetve az azt reprezentáló raszterpontok megkeresése és átszínezése (Newman és Sproull [1985]). A feladat teljesen analóg a fenti, belső cellák megkeresésének feladatával: a megoldások ily módon megegyeznek. A QT-algoritmus néhány egyszerű alkalmazása Véletlen ponteloszlások kiértékelése Tekintsük a diffúziós (vagy konvektív diffúziós) problémák közelítő megoldására szolgáló véletlen bolyongás vagy Monte-Carlo-módszert (Kinzelbach [1986]; Józsa [1988]). Emlékeztetünk rá, hogy itt a vizsgált szennyező anyag térbeli eloszlását nagyszámú (mondjuk N db) ponttal (fiktív "részecskével") modellezzük: a koncentrációt a részecskék térbeli sűrűsége reprezentálja. A probléma éppen az, hogy ismervén a részecskék térbeli eloszlását, hogyan tudunk minél megbízhatóbb becslést adni a koncentráció térbeli alakulására. Ennek szokásos módja az, hogy valamilyen megfontolással megadunk egy hálóméretet, és ilyen finomságú hálóval fedjük le a tartományt. Minden egyes cellában összeszámoljuk az abba eső részecskéket: ez, arányossági szorzó erejéig, a szóban forgó cellára jellemző koncentrációértéket adja. Az így kapott koncentrációérték statisztikailag annál megbízhatóbb, minél több pontot tartalmaz az adott cella. Ez úgy biztosítható, hogy nagyobb méretű cellákat, azaz durvább hálót alkalmazunk: ekkor viszont szimuláció térbeli „felbontóképessége" elromlik, hiszen a számított koncentráció, bár az értéke viszonylag pontos, egy viszonylag nagy területet jellemez csak, és elvesznek a cellán belüli változások. Megfordítva, ha finom hálót (kisméretű cellákat) alkalmazunk, akkor a felbontás esetleg megfelelő lesz, de a közelítés pontossága romlik, azaz, a koncentrációelosztás statisztikailag zajossá válik. Az optimális kompromisszumot az jelentheti, hogy térben változó méretű cellákat alkalmazunk, mégpedig kisebbeket ott, ahol a részecskék sűrűn helyezkednek el, másutt pedig nagyobbakat. így elérhető, hogy minden cellába kb. azonos számú részecske essék, ami biztosítja, hogy a relatív hiba (azaz a részecskeszám várható értékének és szórásának hányadosa) egyenletesen kicsi legyen az egész tartományon. Válasszunk ki ui. egy tetszőleges C cellát. Jelölje N a részecskék számát, és legyen p annak valószínűsége, hogy valamely kiválasztott részecske épp C-be esik. Akkor a C cellába eső részecskék v száma binomiális eloszlást követ, melynek N

c várható értéke és szórása: N

c:=M{v)=N.p D(v) = (N.p.(l-p))* (1) Ily módon a relatív szórás: (2) mJi£.) f-iy M{v) [N.pj ~ |iVc amennyiben p elég kicsi. A becslés úgy interpretálható, hogy a számított koncentráció relatív hibája lényegében csak a cellába eső részecskék számától függ, éspedig azzal csökken: elég tehát olyan cellarendszert generálni, ahol minden cellába kb. azonos számú részecske esik. Pontosan ilyen cellarendszert szolgáltat a quadtree (octtree) algoritmus, ha vezérlő ponthalmazként a ré-