Hidrológiai Közlöny 1994 (74. évfolyam)
3. szám - Reimann József: Újabb módszerek a korreláció- és regresszióelméletben. I. A valószínűségi változók közötti kapcsolatok mérése
148 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1994. 74. ÉVF. 2. SZÁM változós eloszlásfüggvény értékeit sokszor még a H (x,y) eloszlásfüggvény képletének ismeretében sem tudjuk kiszámítani, vagy csak nagyon bonyolult módon jutunk a kívánt eredményre. Pl. ha X és Y valószínűségi változók együttes eloszlása kétdimenziós normális eloszlás, amire nincs táblázat, csak a vetület eloszlásokra van, a síkbeli valószínűségek kiszámítása nehézkes és hosszadalmas. Ugyanakkor a (23) formula alkalmazása egyszerű és gyors. 1. példa A Tisza szegedi vízmércéjén mért II. negyedévi árvízi adatokat az 1901-1970. időszakra vonatkozóan az 1. táblázat tartalmazza. Az X valószínűségi változó a c = 650 cm-es szint túllépése, vagyis értékeit a tetőzési vízszintből levont 650 cm érték adja. Az Y változó az árhullám napokban adott levonulási ideje, azaz a c-szint fölött vízállások állapotának időtartama. Illeszkedésvizsgálattal igazolódott, hogy mind X, mint Y exponenciális eloszlásúak. Az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye: F(x) = 1 - e 001x Az Y változó eloszlásfüggvénye: G(v) = 1 -e"° ,05y (közelítéssel K-t is folytonos változónak tekintettük.) Az X és y változók közötti empirikus korrelációs együtthatóra r (X,Y) = 0,95 adódik. Mivel az X és Y változók H(j^y) együttes elosz1. táblázat Tisza-Szeged. II. negyedévi (ápr. 1. - jún. 30 közötti) c=650 cm vízállást túllépő árvizek túllépési mértéke (X) cs időtartam (Y), 1901-1970 között év X(cm) Y(nap) év X(cm) Y(nap) 1901 29 5 1941 204 68 1902 14 3 1942 38 7 1907 108 42 51 11 1912 72 19 60 14 34 10 4 3 1914 128 22 1944 2 5 1915 110 35 1952 39 10 1916 73 13 1956 37 7 1919 266 49 1958 66 25 1920 16 2 1962 170 33 1922 124 36 1964 114 19 1924 220 51 1965 198 15 1932 273 42 1967 134 41 1937 53 11 1970 309 91 1940 197 38 40 8 28 5 lásfüggvényét nem ismerjük - pedig pl. az árvíztömeg eloszlásának számításához szükségünk lenne rá-, képezzük a Hp = 0,95 . min (F,G) + 0,05 . F.G (24) eloszlásfüggvényt. Az X valószínűségi eloszlásának felső quartilise ^75 az a szám, amelyre P(Xsx 01 5) = 0,75. Egyszerű számítással kapjuk, , hogy x 0,75 = 140 cm. Ugyanis: F(x) = 1 _é>-°. 0 1-* = 0,75 e-°' 0b :=0,25 -0,01 jc. 1 0log e = 1 0log 0,25 ) x = 140. Hasonló számítással adódik, hogy Y eloszlásának yo,75 = 28 nap a felső quartilise. Számítsuk ki a H p eloszlásfüggvény segítségével a P(*> xo,75 , r>yo,75 ) = P(*> 140, Y> 28) (25) valószínűséget" (Ez már 790 cm-es tetőzést és egy hónapos levonulási időt jelent.) Alkalmazva a P(X>x, Y>y) = ] - F(x) - G(y) + H(x,y) (26) formulát, amivel összefüggésben P(*i*0,75, ^0,75) = 1-0,75 - 0,75 + Hp(*0,75, >0,75) (27) alapján a: min[F(?o,75), G(yo,75)]=min(0,75; 0,75)=0,75, F.G=0,75 2 -bői: , // p(xo,75J0,75)=0,95.0,75+0,05.0,75.0,75=0,71+0,03= =0,74 érték helyettesítésével: P(A'>140, y>28) = 1-1,5+0,74=0,24 (28) valószínűség adódik. 1 Az 1. táblázatot szemügyre véve a 31. árhullám között 8 olyan volt, amelyre (.¥>140, y>28) bekövetkezett. g Mivel — = 0,25, ennél jobb egyezést 31 elemű mintából aligha várhatunk, hiszen a 0,25 érték relatív gyakoriság. A H p eloszlásfüggvény tehát a túllépés nagyságának és időtartamának együttes eloszlását kij elégítően leírja, mivel tetszőleges (x,y) pont választása esetén hasonló egyezést tapasztalunk. Irodalom: Lehmann, E. L. Somé concepts of dependence. The Annals of Math. Statist. Vol. 37. No. 5. 1966 Reimann, J.: Dependence analysis of random variables with hydrologic applications. Periodica Polytechnica. Vol. 27. Nos 1-2 1983. A kézirat beérkezett: 1993. április 21. Közlésre elfogadva: 1993. május 31.
