Hidrológiai Közlöny 1993 (73. évfolyam)
2. szám - Gáspár Csaba–Szél Sándor: Kvázi analitikus számítási eljárás az egydimenziós vízmozgás és szennyezőanyag-terjedés modellezésében. II. rész
65 Kvázi-analitikus számítási eljárás az egydimenziós vízmozgás és szennyezőanyag-terjedés modellezésében II. rész. Gáspár Csaba Szél Sándor Vízgazdálkodási Tudományos Kutató Központ, 1095 Budapest, Kvassay Jenó'u. 1. Kivonat: A szerzők a dolgozat első részében a Saint-Venant egyenletek linearizálása útján egy konvektív diszperziós egyenletet nyertek az impulzustranszportra. mely formai szempontból hasonló a szennyezőanyag terjedést leíró transzoportegyenlettel. A mostani, II. részben a szerzők ezen egyenletnek egy, az analitikus módszerekhez közellálló numerikus megoldási módszerét mutatják be. A megoldás a Fourier-sorfejtésen alapszik: alkalmazása bizonyos, jól körülhatárolható esetekben lehetséges, és ekkor számos előnyt mutat fel a hagyományos véges differenciás módszerekhez képest (mind a pontosság, mind pedig a számítás gazdaságossága terén): nem megfelelő alkalmazása viszont numerikus instabilitáshoz vezethet. A tanulmány érinti a módszer általánosítási lehetőségeit is. Kulcsszavak: impulzusdiszperzió, konvekciós-diszperziós egyenlet, numerikus megoldás. Fourier-módszer 1. Bevezetés Jelen dolgozatunk elsó' részében megmutattuk, hogyan állítható eló' a Saint-Venant-féle (dinamikai) differenciálegyenletből a linearizált (egydimenziós) impulzusdiszperziós differenciálegyenlet (a nemzetközi szakirodalomban szokásosan alkalmazott nevén, diffúziós hullám). A levezetés alapvetően a linearizálásból és a folytonossági differenciálegyenlet összefüggéseiből adódó egyszerűsítések felhasználásán alapszik. A hidrodinamikai állapottér meghatározását az impulzusdiszperziós differenciálegyenlet és a folytonossági differenciálegyenlet által alkotott differenciálegyenlet-rendszer íija le. Konkrét feladat esetén ezen differenciálegyenlet-rendszer megoldása állítandó elő, rögzített kezdeti feltétel és peremfeltételek mellett. A szóban forgó differenciálegyenlet-rendszer jól alkalmazhatónak bizonyult a Magyarországon előforduló legtöbb szabadfelszínű, természetes és mesterséges medrekbeni lefolyás számítására. Ezen differenciálegyenletek matematikai szempontból ún. konvektív diffúziós (diszperziós) vagy transzportegyenletek. Formailag ugyanilyen alakúak a szennyezőanyag-terjedést leíró (anyag-) transzportegyenletek is. A lényeges különbség a diszperziós tényező nagyságrendjében van, ami anyagtranszport esetén sokkal kisebb. Dolgozatunk mostani, második részében ezen differenciálegyenletek numerikus megoldásával foglalkozunk. A szokásos, véges differenciákon alapuló módszerekkel ellentétben, a megoldást Fourier-sor alakban állítjuk elő. Ily módon a megoldás az analitikus módszerekhez áll közelebb, mindazonáltal nem teljesen analitikus, mert végtelen sorokat tartalmaz. A módszer alkalmazhatóságához szükséges, hogy mind a konvektív sebesség, mind pedig a diszperziós tényező egy helytől és időtől független konstans legyen, ill. ilyen módon legyen közelíthető. További, meglehetősen erős feltétele az alkalmazhatóságnak, hogy a transzport ne legyen konvekciódomináns, pontosabban, az ezt jellemző Péclet-szám max. tizes nagyságrendű legyen. Az eljárást értékeljük numerikus szempontokból is, a hagyományos differenciamódszerekkel való összevetés révén. A Reynolds-időátlagolt egydimenziós hidrodinamikai állapottér meghatározásának a dolgozatban ismertetett módja, a hosszúidejű (és hosszú időelőnyű) szimulációk végzésére, illetve komplex (pl. vízminőségi) modellrendszerek hidrodinamikai almodelljeként alkalmazva igen jól használhatónak mutatkozik. Az itt bemutatott kvázi-analitikus módszer ilyen esetekben igen hatékony, és jól közelítő, ami azt bizonyítja, hogy fontos helyet foglal el a számítási modellek rendszerében. 2. A probléma matematikai megfogalmazása Matematikai szempontból tehát a megoldandó feladat az alábbi egydimenziós másodrendű lineáris parciális differenciálegyenlet (konvektív diszperziós egyenlet): du du d 2u — + C - —-D t = 0 dt dtx fa 2 (1) melyhez az alábbi kezdeti- és peremfeltételek vannak csatolva: "(O^r) = qp(*) a 0 . u(t,0) + b 0 ~ (r,0) = YoW (2)
