Hidrológiai Közlöny 1993 (73. évfolyam)
6. szám - Kontur István: A véletlen bolyongás és diffúzió
382 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1993. 73. ÉVF., 1. SZÁM _ (\ At At £>\ T At 2D\ Q" l+1 = + ^XíM-i..+ V-* teJQf * 1 At At D \ _ Láthatjuk, hogy az együtthatók összege itt éppen egy, ahogyan azt vártuk az i. idó'pontbeli vízhozamok súlyozott átlaga az (i+1) időpontbeli vízhozam. A , 1 A/ AtD , 1 Al At AD, , 9 = 2° Ax + Ax Ax ^ + bevezetésével Qi+i = q' l-q'-p' p" Qi=CQj ahol a q', p' elemeket tartalmazó mátrix nem más mint az átmenet valószínűségi mátrix, q' p' valószínűség változó, így értékük 0 és 1 között kell hogy legyen: n 1 D\ ahol a z ún. számítási sebesség. Nem nehéz bemutatni, hogy a diszkrét idejű kaszád modellek, pontosabban az általam 1977-ben bemutatott bolyongási modellek éppen ilyen típusúak. A valószínűségi leírás és a tározó sorozat közötti megfeleltetés a fentebb mondottaknak megfelelően a térfogatok additív jellegéből következően nem okoz nehézséget. A lineáris egyenletrendszer együttható mátrixa éppen az átmenetvalószínűségi mátrix; mégpedig a (t—»t+At), tehát az egy lépéses átmenet valószínűségi mátrix: C. A két, három stb. lépéses átmenetvalószínűségi mátrixokat a Chapman-Kolmogorov reláció szerint az egy lépéses átmenetvalószínűségi mátrix hatványozásával kapjuk: C 2, C 3, ... stb. Mivel C tridiagonális, így a hatványozás során fokozatosan föltöltődik a mátrix, természetesen úgy, hogy a sor-összeg mindig egy marad. Az eleve diszkrét, vagy térben és időben diszkretizált modell szintén lehet jó közelítése a diffúziós feladatnak, ha C mátrixot At viszonylag kis értékére határozzuk meg, amikor is még az időben folytonos esetből kapott B (At) lényegében szintén átmenetvalószínűségi mátrixnak is csak a középső sávjában vannak elemek és a többi elhanyagolhatóan kicsi. A diffúziós egyenlet (iv) diszkretizálási módjáról, amikor is az idő diszkrét és a tér folytonos nem beszélünk, mivel ennek gyakorlati jelentősége csekélyebb és a megoldás is bonyolultabb. 5. Összefoglalás A tanulmány első három fejezetében a diffúzió és a véletlen bolyongás kapcsolatát világítottuk meg a témakörben szélesebben tallózva, a valószínűség irodalmában. Ezen ismeretteijesztést is szolgáló alapozás után a negyedik fejezetben a vízépítésben széleskörűen alkalmazott diffúziós egyenletet vettük részletes vizsgálat alá. A térben és időben folyton, illetve diszkretizált megoldások egy-egy valószínűségi modellnek felelnek meg, a Markov-lánc modellnek, illetve a születés-halálozási Poisson folyamatnak. A valószínűségi megfogalmazások szemléletileg is más megvilágításba helyezik a diffúziós hullám modellek megoldását, amely elősegíti a valóság és a modell kapcsolatának jobb megértését. Irodalom Arnold L.: 1984: Sztochasztikus differenciálegyenletek elmélete és alkalmazása. Műszaki Könyvkiadó, Budapest. Bharucha-Reid, A. T. 1960: Elements at the theory of Markov processes and their applications. McGrow-Hill, New York Dooge, J. C. I. 1973: Linear theory of hydrologic systems. USDA Techn. Bull. No. 1468 Washington, D. C. Feller, W. 1978: Bevezetés a valószínííségszámításba és alkalmazásba. Műszaki Könyvkiadó, Budapest. Feynman, R. 1983: A fizikai törvények jellege. Magvető' Kiadó, Bp. Frank, Ph-R. Mises 1967: A mechanika és a fizika differenciál- és integrálegyenletei. I-II. Műszai Könyvkiadó, Budapest Hayami, S. 1951: On the propagation of flood waves, Disaster Prevention Res. Inst., Kyoto lto, K. - McKean, H. D., 1965: Diffusion Processes and their Sample paths. Springer, Berlin Karlin, S. - H. M. Taylor, 1985: Sztochasztikus folyamatok. Gondolat, Budapest Kontúr, 1. 1977: A lefolyás általános lineáris kaszád modellje. Hidrológi Közlöny 1977. pp. 404^112. Kontúr I. 1984: Hidrológiai modellezés (Segédkönyv nappali és szakmérnök hallgatók részére) Kézirat. Budapest pp. 1-81. Kontúr 1. 1986: Real-time Hydrological Forecasting by Diffusion Wave-Markov Chain Theory. IAHS Konferencia, Budapest (kézirat) Price, R. K. 1973: Flood routing in natural rivers, Proc. Inst. Civ. Eng. 55. Rényi A. 1968: Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest Szigyártó Z. 1965: Vízhozamhullámképek meghatározása valószínűségelméleti alapon. Építés és Közlekedéstudományi Közlemények Vol. 3-4. pp. 387-432. Szöllősi-Nagy A. 1981: State space model of the Nash-cascade, kinematic and diffusion waves. Research Report, Serie A, No. 68. University of Lulea. Todini E., Bossi A. 1986: PAB Parabolic and Backwater an unconditionally stable flood routing scheme particulary suited for reál time forecasting and control. Journal of Hydraulic Research Vol 24. No 5. Vágás I. 1970: Önszabályozó átfolyásos rendszerlánoolatok valószínűségi jellemzése. Hidrológiai Közlöny 1970. Vol. 9. A bővített kézirat beérkezett: 1992. október 15. Közlésre elfogadva: 1993. január 4.
