Hidrológiai Közlöny 1993 (73. évfolyam)

6. szám - Szél Sándor–Gáspár Csaba: A Muskingum-Cunge eljárás felülvizsgálata és továbbfejlesztése

348 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1993. 73. ÉVF., 1. SZÁM függvényre alkalmazva, a (t

p x

k) rácsponton a következőképp áll elő: = C • u

x + u, + (8) + |' • CAt + 2u

a • [(l-e) • CAt + (1-0) A*] + u„ • A/] + 7 ["«*• CAt

2 + 3u«, • At • [(l-e) • CAt + (1-©) • At] + 6 3u

xt

t • A/ [(l-e) • CA/ + (1-0) • At] + u

m • A/

2] + 0((Ax + CAt)

3) Vegyük észre, hogy e és © sosem függetlenül, hanem mindig ugyanabban a kifejezésben fordul elő. Jelölje a : = (l-e) • CAt + (1-0) • Ax Ezt beírva (8)-ba, továbbá használva az L operátor definícióját, a következő egyszerűbb alakot kapjuk: Ltj,bxu - Lu + ^ • [Uxx • (2D + CAt) + 2a • u

xt + u

n A/] + 1 2 2 + — ' [uxxx ' CAt + 3a • Uxx, • Ax + 3a u

xtt Ar + u

m • A/ ] + + 0((At + CAt )

3) (9) A (9) egyenlőség lényegében egy hibabecslés, mely megmutatja, hogy a diszkrét L^ ^ differenciaoperátor milyen pontosan közelíti az L differenciáloperátort az u függvényen. A jobb oldal első zárójeles tagja első-, a második másod-, a maradék pedig harmadrendben tűnik el, ha A/ és Ax mindketten zérushoz tartanak. Célszerű arra törekedni, hogy a séma minél magasabb rendben legyen pontos: ezt a séma paramétereinek alkalmas megválasztásával érhetjük el. (9)-ből nyilvánvaló, hogy ha az u függvény tetszőleges, akkor (9) jobb oldalán álló hibatagok általában nem tűnnek el, akárhogy is választjuk meg az e, 0 paramétereket. Más szóval, a paraméterek semmilyen konkrét megválasztása sem biztosítja azt, hogy akárcsak az elsőrendű hibatag is eltűnjön minden u(t,x) függvényre. Speciálisan azonban, ha u megoldása a (2) egyenletnek, a közelítés rendje lényegesen javítható, aliogy azt most meg fogjuk mutatni. Legyen tehát u egy tetszőleges megoldása (2)-nck, azaz Lu=0, így a /-szerinti derivált kifejezhető az x szerinti deriváltakkal: = - C • u

x + D • Mx

x (10) (10) ismételt alkalmazásával a (9) formulában szereplő valamennyi derivált kifejezhető csupa x szerinti deriváltakkal: "tx = -CUxx + £> uxxx u„ = C

2 • u^ - 2 • CD Uxxx + D

2 • u^ ~C-u^ + D-u^ Mfa = C

2 wu

xx

x - 2 CD • u^x + D

2 -u

5x u

m = -C

3-u

xx

x + 3-C

2Du

4

x-3-CD

2-u

5

x + D

3 • u

6x ahol u^

x. — u

xxx

x és így tovább. A deriváltakra nyert fenti kifejezéseket íijuk be (9)-be: , r

n CAx _ C

2A

í , = [£ + — -Ca+^-]-u„+ (11) m CAx

2 CaA

x C

2aAt C

}At

2, +• [Da - CDAí + ——— - - + - - - ] • u

m + 0 ((A* + CA/)

3) A (11) formula (9)-hez hasonlóan egy hibabecslő formula, melyben azonban már csak az u megoldásfüggvény x szerinti deriváltjai szerepelnek. A jobb oldal első tagja első-, a második pedig másodrendű hibatag. Ezek megléte jellegzetesen befolyásolja a közelítő megoldás viselkedését, mégpedig: — az első hibatag (mely a másodrendű deriváltat tartalmazza) a numerikus diszperzióért felelős; — a második hibatag (mely a harmadrendű deriváltat tartalmazza) numerikus oszcillációt (alul-, illetve túllövéseket) okoz. Megjegyzés: a numerikus diszperzió jelensége régóta jól ismert (ld. pl. Cunge et al, 1980): lényege, hogy a séma az adott differenciáloperátor helyett egy másikat approximál, mégpedig olyat, melyben a diszperzió nagyobb. A numerikus diszperzió kiküszöbölése (ll)-ből világos, hogy az 8, © paraméterek megválaszthatok úgy, hogy az első hibatag, azaz a numerikus diszperzió eltűnjön, mégpedig ehhez az kell, hogy a = (l-e)-CA/ + (l-0)-Ax = ^ + y + ^ (12) teljesüljön. (12)-t Ar-szel végigosztva innen .. . CAt . . D 1 CAt (l-e) • -7— + (1-©) = -prr- + r + ^rAx CAx 2 2Ax következik. Az egyes tagoknak itt már jól ismert jelentésük van. Vezessük be Cr : = Pe:-^Ax ' 2D Courant- ill. Péclet-számokat, akkor innen azonnal adódik, hogy a séma mentes a numerikus diffúziótól, ha az e, 0 súlyozóparaméterek kielégítik a következő feltételt: (I_

£).o + (i-©) = ^ Mivel pedig a séma együtthatói (6) alapján nyilvánvalóan felírhatok az alábbi alakban: „ e Cr + 0 ci = (l-e) Cr + (1-0) — e • Cr + (1-0) 2 (l-e) Cr+(l-0) (l-e) -Cr-0 C,= (1 -e) • Cr + (1 - 0) azért e formulákból, (13)-at kihasználva, azt a meglepő eredményt kapjuk, hogy ha a (13) feltétel teljesül, akkor a séma együtthatói egyik súlyozóparamétert sem tartalmazzák, csak a Courant és a Péclet-számokat: C, = C,= 1+C

r~Te Í+Cr + Pe l~

Cr + Te l+Cr + íe