Hidrológiai Közlöny 1992 (72. évfolyam)
5-6. szám - Szél Sándor–Gáspár Csaba: Kvázi-analitikus számítási eljárás az egyedimenziós vízmozgás és szennyezőanyag-terjedés modellezésében. I. rész
SZÉL S.—GÁSPÁR CS.: Kvázi analitikus számítás 265 például arra gondolunk, hogy nempermanens feladat esetén az alsó peremfeltétel permanens Q—h görbével való megadása pontosságot rontó visszahatást okoz, ami a feladat méretének lényeges növelésével elkerülhető, de a számítási idő számottevően nő, és ez az operatív alkalmazás tekintetében káros). A numerikus modell, a pontossági és stabüitási kritériumok betartása esetén tehát igen nagy méretűvé és nagy számítási időigényűvé válhat a gyakorlati feladatok többségénél, ezért nehézkesen alkalmazható olyan komplex feladatok megoldása során amelyeknél a hidrodinamikai állapottér ismerete csak részeredményét szolgáltatja a további számításoknak. Ilyen jellegű problémák megoldására mutatkozik igen jól alkalmazhatónak dolgozatunk következő részében ismertetésre kerülő számítási eljárás. Az eljárás alkalmazásának alapját a következőkben tárgyalandó matematikai átalakítások teremtik meg, melyek lényege az alapegyenletek linearizáása. 2. Az impulzusdiszperziós forma előállítása A vizsgált determinisztikus modellek mindegyike az egydimenziós vízmozgás leírására általánosan elfogadott és alkalmazott 8aint-Venant-fé\e differenciálegyenlet-rendszerre támaszkodik. Ennek a fajlagos oldalmenti térfogatáram és a szelvénybeli sebessógeloszlás egyenlőtlenségét kifejező korrekciós tényezők nélküli alakja (Kozák, 1977): ff dv v d v , dh „ dt dx (D (2) ahol: h [L] — az átlagvízmélység, t [T] — az idő, x [L] — valamely keresztszelvény hosszmenti koordinátája, v [LT _ 1] — a közópsebesség, (a Reynolds-féle időátlag szelvényterületen vett integrálja, x, t függvénye) A [L 2] — az áramlás irányára merőleges szelvényterület, Sf [—] —a súrlódási disszipáció, S 0 [—] — a mederfenék esése és g [LT~ 2] —a nehézségi gyorsulás. A Saint- Feraaní-egyenletrendszer impulzusdiszperziós alakja a következő: •D(Q,A).^ = 0. (3) d Q +0(Q, A) d Q dt dx dt dx (4) ahol: Q [L 3T1] — a szelvénybeli középvízhozam (Q=A-v), C [LT _ 1] — a sebességi tényező, D [L 2T _ 1] — az impulzusdiszperziós tényező. A (3) és (4) egyenlet a vonatkozó szakirodalomban a diffúziós hullám elnevezést kapta. Megjegyezzük, hogy ez az elnevezés valójában helytelen, ugyanis a diffúziós tényező alatt a molekuláris léptékű, hőmérsékletfüggő kinematikai viszkozitást szokás érteni, míg esetünkben az impulzus diszperziójáról van szó. A (3) egyenlet C(Q, ^4)-val szorzott tagja a konvektív impulzusáramot „méri", míg a D(Q, ^4)-val szorzott tagja a konduktív impulzusáramot. Ha a (3) egyenlet linearizált, akkor C és D jelentése konvektív illetve konduktív impulzusvezetési tényező, ellenkező esetben konvektív illetve konduktív impulzusvezetési trajektória. (Az egyszerűség érdekében a G ós D mennyiségeket nemlineáris és linearizált esetben egyaránt vezetési tényezőnek nevezzük a későbbiekben.) Az impulzustranszport (3) és (4) egyenletekkel definiált alakja reményt ad kvázi-analitikus számítási eljárás alkalmazására, amennyiben az impulzus konvektív áramsűrűségének vezetési tényezője ós az impulzus konduktív áramsűrűségének vezetési tényezője állandónak vehető valamely számítási szakaszon, a teljes vizsgálati időtartományon. A részletes vizsgálatok eredményei azt mutatják (Szél, 1988/b), hogy a linearizálás megtehető, és a Fourier-módszeren alapuló számítási modell jól alkalmazható, relatíve kis pontosságvesztéssel a feladatok igen szóles körében, ami teljesen lefedi a magyarországi szabadfelszínű vízfolyások fő hidraulikai jellemzőinek tartományát. A vizsgálatok egy magányos árhullám levonulásának számításaira épültek. A különböző számítási eljárások összehasonlításának alapját, az árhullám két fő jellemzőjének (az árhullámcsúcs terjedési sebességének és az árhullámcsúcs ellapulási mértékónok) összevetése képezte. A számítások kiterjedtek a vízfolyások legfontosabb hidraulikai jellemzőjének a mederfenékesések szóles tartományára és ezen belül is különböző hevességű induló (felső peremfeltétel) árhullámok eseteire. Az impulzusdiszperziós alak levezetése a SaintVenant-féle differenciálegyenlet-rendszerből történik és az alapfeltevésektől függően több módon is megvalósítható. A kapott egyenletek ennek ellenére mindig a (3), (4) formában állnak elő, eltérés csak a sebességi ós diszperziós tényező számításában mutatkozik, de ez az eltérés a „szubkritikus'-' (fkrit^ (ff -h) 1! 2 alatti) áramlási tartományban elenyésző a hatásával együtt, amit alátámasztanak Poncé, (1990) eredményei is. A következőkben az említett levezetési módokat rendszerezzük. Megjegyezzük azonban, hogy egyes szerzőknek nem az impulzusdiszperziós alak levezetése volt a célja, hanem a Muskingum-féle árhullámszámító eljárás javítása, az elkövetett numerikus hibák korrigálása révén. Az impulzusdiszperziós alak, az impulzus konvektív és konduktív áramsűrűségének vezetési tényezői négy, kiindulási feltételeikben eltérő módon állíthatók elő. I. A teljes dinamikai egyenletből kiindulva, a folytonossági egyenlet felhasználásával átalakításokat végzünk, majd ezt követően elhanyagolásokat teszünk. II. A csonkított dinamikai egyenletből indulunk ki és ezután hajtunk végre átalakításokat. A
