Hidrológiai Közlöny 1990 (70. évfolyam)

4. szám - Szigyártó Zoltán: A Saint Venant-egyenlet levezetése a Narier–Stokes egyenletből hidraulika stochasztikus módszereivel

226 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1990 . 70. ÉVF. 3. SZÁM A Saint Vénant egyenlet levezetése a Navier-Stokes egyenletből a hidraulika stochasztikus módszereivel Szigyártó Zoltán Vízgazdálkodási Tudományos Kutatóközpont Budapest, Kvassay Jenő út 1. 1095. Kiv Olittt A tanulmány bemutatja, liogy a hidraulika stochasztikus módszereire támaszkodva miképpen lehet a Navier—Stokén egyenletből a netnpermanens vízmozgások gyakorlati számításának az alapkópletét, a Saint Vénant egyenletet levezetni. A levezetés a Navier—Stokes egyenletnek a görbevonalú koordináta tengelyek esetén is jól alkalmazható (1) alakjából indul ki. Bevezetve a (2) összefüggéssel definiált térfogatsúlyt, majd feltételezve, hogy a vízre külső erőként csak a nehézségi erő hat, a levezetés a (4)—(7) egyenlőségen, továbbá a vízfelszín magasságára vonatkozó (8) kifejezésen keresztül jut a (9) függvényalakra. Ezt követi a keresztszelvény, mint irányított felület definiálása, s a prizmatikus, egyenes mederszakasz feltételezése, amelyre támaszkodva átlag képzéssel a (10)—(15) egyenlőségen keresztül a (9) összefüggés valamennyi tagjára a keresztszelvény területére ós a turbulencia szempontjából átlagos viszonyokra vonatkoztatott kifejezés egyszerűen kiszámítható. Mindezeket a (9) összefüggésbe behelyettesítve eredményként a (18) kifejezés adódik; amely a (19) ós (24) egyenlőséget alapul véve a Saint Vénant egyenletet szolgáltatja. A tanulmány végül néhány kiegészítő megjegyzést fűz a (24) empirikus összefüggés figyelembevételéhez, továbbá ahhoz, hogy az egy adott időpontra vonatkozó pontonkinti értékekről a turbulencia szempontjából átlagos viszonyokra és a keresztszelvényre vonatkoztatott területi átlagra áttérve, hol, s milyen jellegű korrekciós tényezőt kell bevezetni. Hangsúlyozza továbbá azt, hogy a (25) összefüggés szabatosan csupán egyenes, prizmatikus meder szakaszra lehet érvényes. Végül rámutat arra, hogv ez a levezetés egyúttal módot ad a Chézy-íóle C tényező szabatos értelmezésére is. Kulcsszavak: Hidraulika, turbulens vízmozgás, elmélet, levezetés, átlagképzés. 1» A tanulmány célja .Általánosan elfogadott vélemény, hogy a folyadéktér meghatározott pontjára vonatkozó NavierStokes (egyetlen vektorai is összefüggéssel is felírható) parciális differenciálegyenlet-rendszer figyelembe veszi a folyadékra ható valamennyi eró't, illetve ezen erőhatások következményeit. Annál meglepőbbnek tűnhet, hogy az ebből levezetett számos gyakorlati Összefüggés (mint például a csőben lezajló permanens vízmozgást leíró Hagen— Poiseuille törvény, vagy a gömb álló vízben történő süllyedésre vonatkozó Stokes törvény) csak az igen kis sebességek tartományára, vagyis csupán a lamináris vízmozgásra érvényes. Bizonyára ezek a korábbi, kedvezőtlen gyakorlati tapasztalatok okozták azt, hogy a NavierStokes összefüggés turbulens viszonyok közötti alkalmazhatósága esetenkint kétségessé válik. Ugyanakkor a már említett, s csupán a lamináris vízmozgások körére érvényes összefüggések levezetésének mind van egy közös jellemvonása. Felteszik, hogy a folyadéktér pontjaiban a sebesség iránya és nagysága az időtől nem függ: ami viszont szükségképpen csak a lamináris tartományban lehet igaz. Másoldalról éppen az elektronikus számítógépek fejlődése ma már lehetővé teszi a Navier—Stokes egyenletek közvetlen alkalmazását is; s ennek során olyan gyakorlati esetekre lehet jó megoldásokat kapni, amelyek csupán turbulens viszonyok között állhatnak elő {Méhauté, 1976., 67. o.). Mindenképpen jogosnak kell tehát elfogadnunk azt a gondolatot, hogy az említett összefüggések korlátozott alkalmazási tartománya nem a NavierStokes egyenlet leszűkített érvényességi körére, hanem a levezetések során tett feltételekből származó következményekre vezethető vissza. Ez pedig indokolttá tesz minden olyan kísérletet, amely a Navier—-Stokes egyenletből óhajtja a turbulens viszonyokra vonatkozó gyakorlati öszszefüggéseket is levezetni. E próbálkozások sikerét azonban korábban nagymértékben gátolta az, hogy a turbulencia törvényszerűsége csupán a valószínűség-elmélet segítségével írható le; vagyis, hogy a turbulens vízmozgásra vonatkozó törvényszerűségek szóban forgó levezetése a „Stochasztikus hidraulika" feladatkörébe tartozik. Ez pedig, mint elismert új tudományterület alig mintegy tizenöt éves múltra tekinthet vissza. Korábban tehát ennek módszerei a gyakorlati érdeklődésű hidraulikusok érdeklődési körén kívül estek. Az előadottak figyelembevételével a jelen tanulmány célja annak bemutatása, hogy a Navier— Stokes egyenletből miképpen lehet a gyakorlati hidraulika egyik igen fontos összefüggését, a nempermanens vízmozgások számítási alapképletót, a Saint Vénant parciális differenciálegyenletet levezetni.