Hidrológiai Közlöny 1988 (68. évfolyam)
5. szám - Gáspár Csaba: A konvektív diffúziós egyenlet megoldása peremintegrálegyenlet-módszerrel
283 A konvektív diffúziós egyenlet megoldása peremintegrálegyenlet-módszerrel* Gáspár Csaba Vízgazdálkodási Tudományos Kutatóközpont 1095 Budapest, Kvassay J. út 1. Kivonat: A konvekciós-diffúziós egyenlet numerikus megoldása többféle módon lehetséges, ós ezek a módszerek világszerte kiterjedt kutatások tárgyát képezik. A dolgozat egy lehetséges eljárást mutat be, a peremintegrálegyenlet-módszert. E módszer gyakorlati alkalmazása — bár elvi alapjai már a múlt században is ismertek voltak — az utóbbi tíz évben indult rohamos fejlődésnek. A peremintegrálegyenlet-módszer, jóllehet, kevésbé általánosan, kevesebb feladattípusra alkalmazható, mint a már hagyományosnak számító végesdifferencia- és végeselem-módszerek, de alliol alkalmazható, ott sok tekintetben jelentős előnyöket mutat fel azokkal szemben. A módszer hazai elterjedése, sajnos, kielégítőnek egyáltalán nem nevezhető. A szerző ehhez szeretne hozzájárulni a jelen dolgozattal. A dolgozat részletezi az alapmegoldás és a perem-integrálegyenlet konstrukcióját a konvekciós-diffúziós egyenletre mind permanens mind pedig nempermanens folyamat mellett, az utóbbi esetben az időbeli diszkretizálás lehetőségeit is vázolva. A levezetés a Fourier-transzforináció ós a Green-formulák segítségével történik, ha az egyenlet állandó együtthatós, azaz mind a diffúziós tényező, mind pedig a sebesség konstans. A szerző megmutatja, hogy az eljárás kiterjeszthető arra a -— gyakorlatban is fontos — esetre, amikor a konvekciós sebesség nem konstans, de potenciálos. (Szennyezőanyag-transzport szivárgó folyadékokban.) Kulcsszavak: diffúziós egyenlet, alapmegoldás, peremintegrálegyenlet-módszer 1. Bevezetés Az alábbiakban a percinintegrálegyenlet-módszert alkalmazzuk a 3u — div k grad u + \) -grad u=f (1) ot nempermanens konvekciós-diffúziós egyenletre, ill. annak permanens válfajára: — div k grad« + b-grad u = / (2) (1), (2)-ben u a meghatározandó hőmérsékletvagy koncentrációeloszlás, k a hővezetési, ill. diffúziós együttható, a b vektorfüggvény pedig a konvekciót leíró sebességmező. Általános (inhomogén és anizotrop) esetben k(\) minden pontban egy szimmetrikus és pozitív definit mátrix, izotróp esetben pedig k pozitív skalárfüggvény. Az (1), (2) egyenletek teljesülését megköveteljük egy Q tartomány minden belső pontjában, ahol (2 az a tartomány, melyben a transzportfolyamat végbemegy. A továbbiakban csak egyés kétdimenziós korlátos tartományok esetével foglalkozunk: megjegyezzük azonban, hogy a módszer elvben minden nehézség nélkül alkalmazható háromdimenziós tartományokra is (természetesen nagyobb számítógépidő- és memóriaigény mellett). Jelölje faz Ö tartomány peremét: egydimenziós esetben ez két pont, kétdimenziós esetben zárt görbe. Az (1) egyenlethez még csatolni kell a * Elhangzott az MHT Hidraulikai ós Műszaki Hidrológiai Szakosztálya ós a VITUKI „Diffúzió a hidrológiában ós a hidraulikában" c. szemináriumán, 1987. május 28-án. < = 0 időponthoz tartozó eloszlást, a kezdeti feltételt, továbbá mind az (1) mind a (2) egyenlet esetén megadandó F mentén valamilyen peremfeltétel is. Ez jelentheti u előírását F mentén (Dirichlet-féle feltétel), u normális irányú deriváltjának előírását ugyanott (Neumann-féle feltétel); előírható e kettő egy lineáris kombinációja is r mentén, de előfordulhat az is, hogy F egy darabján pl. Dirichlet-féle, a fennmaradó részén pedig Neumann-féle peremfeltételt teszünk (kevert peremfeltétel). Az, hogy a konkrét esetekben az (1), ill. (2) egyenletekhez milyen kezdeti, ill. peremfeltételek járulnak, a vizsgált folyamat fizikai körülményeitől függ. E mellékfeltételek inkorrekt megadása esetén előfordulhat, hogy a matematikai problémának több megoldása is van, vagy épp ellenkezőleg, egyáltalán nincs megoldása. A megoldhatóság kérdését az is befolyásolja, bogy a megoldást milyen függvények körében keressük. E kérdésekkel itt nem foglalkozunk, erre nézve Id. pl.: Aziz (1972) könyvét. A továbbiakban mindig feltesszük, hogy az adott probléma korrekt kitűzésű, azaz alkalmas függvénytérben létezik, mégpedig egyetlen megoldás, továbbá az folytonosan függ az adatoktól. 2. Green-formulák és perem-integrálegyenletek A peremintegrálegyenlet-módszer alapgondolata röviden a következő. Tegyük fel, hogy explicite elő tudjuk állítani az (1) egyenletnek egy alapmegoldását, azaz olyan fí(t, t*, x, x*) függvényt, mely mint t és x függvénye kielégíti a DG \—div k grad Ér + b -grad G—öt'(t) • ő x*(x) (3)
