Hidrológiai Közlöny 1988 (68. évfolyam)

4. szám - Halász Béla: Kutakhoz való nempermanens hozzáfolyás rétegzett tárolókban

214 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1988. 68. ÉVF.. 4. SZÁM Ebben a tanulmányban egy ilyen, az egyszerűbb esetekben még zsebszámológéppel is végigszámolható eljárást ismertetünk. 2. A feladat megfogalmazása A probléma úgy fogalmazható meg, mint a depresszió tértől és időtől függő eloszlásának meghatározása egy sokszintes tároló minden szintjében, ha ezek valamelyikéből, esetleg többől, vízkitermelés történik. A rendszer n vízadó szintből áll, amelyek számozása felülről lefelé történik. A közöttük lévő félig áteresztők a felettük települő vízadó szint sorszámát kapják, törve zérussal. Minden réteg homogén és vízszintesen korlátlan kiterjedésű. A csapolókút vízszintes mérete infinitezimális. A talajvíz vízszintsüllyedése elhanyagolható a kútbeli depresszióhoz képest (S

0 = 0), a legalsó vízadó szintet alulról vizet nem tároló képződmények határolják (k„/

0 = 0). A vízadó és féligáteresztő szintek közötti áteresztőképességi különbség jelentős (k,/

0^ 10^

2k,). A felsorolt feltételek elfogadható teljesülése esetén a depressziót az alábbi parciális differenciálegyenlet-rendszer írja le: o<j I ^>-1/0 dSí-ii

0 17 0/ + Tt ki/o dSi/o T, dz~~ (PS i/o dz i -1/0 dSi at dSi/o dt dz

2 aii o dt Siio(zi\ t)=Si

; (Si/o(z;/o; t) = S, i+1 (1) (2) ahol Sj és Si/ 0 a depresszió a vízadókban, illetve a fáiig áteresztő képződményekben; k, az áteresztőképesség, Tj a transzmisszibilitás (áteresztőképesség és rétegvastagság szorzata), a, a piezovezető képesség (az áteresz tő képesség és a vízkapacitás hányadosa); Z; az i-edik szint feküszintjének függőleges koordinátája. Megjegyzendő, hogy (Zj-j/o — — Zí) = Wj, ahol m, az í-edik szint vastagsága. Az (1)—(2) rendszerhez a felsoroltakon kívül a lim St = 0; lim 2nT

i

r ~—=Qi (3) r — oo r — 0 dr kerületi és a 5., -0 4 í^o (4) kezdeti feltétel járulnak, ahol r = y(x — x

k)

2 + + {y-Vk)

2 a távolság a kúttól; (x

k

; y

k) a kút Descartes-koordinátái; Q, az i-edik szintből termelt hozam (nem csapolt szint esetén Qj = 0). 3. A probléma megoldása Alkalmazzuk egymás után a t szerinti Laplace- és az r szerinti nullarendű végtelen Hankel-transzformációt: Si—p f e-p'dt j rj

0(xr)S, o o dr az (1)—(4) peremérték-problémára. Ekkor az alábbi rendszert kapjuk: 9 a , ki—1/0 -51 . , ki 10 7-1 . a Tff öi-l/o(Zi-l/o) jT Oí/o(Zi) — Ti 2nTi (5) Sí/0 — <Sj/o = 0; Si/olzí) = $j; «i/O Si/o(ziio) — Si+ 1 Elvégezve a (6) kerületérték-feladat Sij 0 = cschmi/o |/plano{Sish(Ziio—z) Vplaiio — S

i

+ish(Zi—z)j/p/a,

7o) (7) megoldásának az (5)-ben kijelölt differenciálását és az eredményt behelyettesítve az (5)-be, az S

t ismeretlenekre vonatkozóan a Oi-lSi-l— (Ti<X.

2+ Ti—l + Ti + /.up)Si + Qi OiSi+i = 2 n (8) lineáris algebrai egyenletrendszert kapjuk, ahol oi = kiio(cschmiio j/^/cti/o) ^p/cti/o; ti=kiio(cthmiio^/plano)^plai/o (9) és [A, = rrii ßi, ßi a rugalmas vízkapacitás. A (8) egyenletrendszer a determinánsok módszerével könnyen megoldható: = A'-H«';?) D

n(a.

2;p) (10) Az operátoros megoldás a Hankel-transzformációs paraméter négyzetére (a

2) vonatkozóan valódi tört (a A"1 x

2(n— l)-edik, a D

n a

2 ra-edik hatványú polinomja); a Laplace-transzformációs paramétert (p) illetően azonban igen bonyolult függvény. Ezért az 7 1 HY°° & = Si= / J 0(a.r)da. ——— / Sidp J 2ni J p 0 a

kinverziós probléma analitikusan nem oldható meg. A Papulisz által kifejlesztett numerikus inverz Laplace transzformációs eljárás (Doetsch, 1971) azonban lehetővé teszi, hogy az inverzió félanalitikusan-félnumerikusan viszonylag kis munkával elvégezhető legyen. Ennek érdekében először kiválasztjuk a nempermanens mozgás számunkra érdekes szakaszának végét (ímax) és ennek alapján számítjuk a