Hidrológiai Közlöny 1986 (66. évfolyam)
3. szám - Kovács Ágnes–Popper György: Kétdimenziós szabadfelszínű vízmozgás számítása végeselem módszerrel
Sc he l le r G y.— Schw e itze r F .: A karsztos hegységek vízfolyásul 149 Kétdimenziós szabadfelszínű vízmozgás számítása végeselem-módszerrel Kovács Ágnes BME Vízépítési Tanszék 1111 Bp., Műegyetem rkp. 3. Popper György BME Építőkari Mechanikai Tanszék 1111 Bp. Műegyetem rkp. 3. Kivonat: A tanulmány a kétdimenziós szabadfelszínű vízmozgás differenciálegyenlet-rendszerének egy lehetséges megoldásával foglalkozik. A dolgozat a kutatás kezdeti eredményeiről számol be, így a megoldás egyelőre nem veszi figyelembe a Coriolis erő ós a szél hatását, valamint a turbulens folyadókcserét. A megoldás lényege, hogy a térbeli koordináták szerinti finitizálás a kiterjesztett Galerkin-vógeselem módszerrel történik, az időszerinti kezdetiórtók-feladat megoldása pedig a Heun-módszerrel megy végbe. Az elkészített FORTRAN programban rejlő lehetőségeket két példa mutatja. Az első, az egydimenziós vízmozgás számítása, kizárólag a program ellenőrzésére szolgál. A második pedig a kétdimenziós vízmozgás szimulációja. Kulcsszavak: kiterjesztett Galerkin-végeselem módszer, prediktor-korrektor típusú eljárás I. Bevezetés A vízmozgás matematikailag a parciális differenciálegyenlet-rendszerekkel kapcsolatos vegyes (kezdeti- és peremérték-) feladatként írható le. Az utóbbi években a szabadfelszínű kétdimenziós vízmozgás számítására több eljárás is készült. A differenciálegyenlet-rendszer peremérték-feladatának megoldására készített végeselem módszeren alapuló eljárások egy része a Ritz-módszert alkalmazta. így például Fix (1975) a potenciálfüggvényből indult ki. Más szerzők a Galerkin-módszert követték. Grotkop (1973) a térbeli és az időbeli koordináták szerinti finitizálást egyaránt a Galerkin-módszerrel végezte. Gullen (1973) az idő szerinti diszkretizálást az úgynevezett békalépéses módszerrel (leap-frog method) oldotta meg. Taylor és Davis (1975) izoparametrikus végeselemeket alkalmaztak a térbeli koordináták szerinti finitizálásnál, az idő szerinti numerikus integrálásra pedig Runge-Kutta típusú módszert javasoltak. Oden és Wellford (Chung, 1978) kvadratikus háromszög elemekkel végezték a térbeli koordináták szerinti diszkretizálást és negyedrendű Runge-Kutta módszert használtak az idő szerinti integrálásra. Kav/ahara (1978) a tengerrengés keltette hullámok terjedését vizsgálta a kétdimenziós vízmozgás differenciálegyenlet-rendszerének felhasználásával. Az egyszerű Galerkin-végeselem módszert követte a sebesség és a hullámemelkedés függvényeinek térbeli finitizálásánál. Azidő szerinti diszkretizálásra explicit módszert, a Lax-Wendroff végesdifferencia-módszer egy változatát használta, amely nem más, mint a numerikus matematikából jól ismert Heun-féle prediktor-korrektor módszer prediktora. A jelen tanulmány a Brebbia (1977) által tárgyalt kétdimenziós vízmozgás differenciálegyenlet-rendszeréből indult ki, és azt a ,,szilárd-part" típusú peremfeltétel megadásával, a hazai gyakorlatban leginkább előforduló esetekre alkalmazza. A térbeli finitizálásra a kiterjesztett Galerkin-módszert alkalmaztuk, amellyel lehetővé válik a peremfeltételeknek csak az „átlagos" kielégítése. A bázisfüggvények előállítására lineáris háromszög elemeket választottunk. Ezek ugyanis a legalacsonyabb fokszámú elemenkénti polinomok, amelyek biztosítják a megoldás folytonosságát és a perem geometriájához való jó illeszkedést. Az idő szerinti finitizálást a Heun-módszerrel végeztük, azaz a Kawahara prediktorát kiegészítettük a korrektor alkalmazásával. Ezzel az integrálási módszer stabilitása nagyobb időlépésnél is biztosítható. A FORTRAN programmal két feladatot mutatunk be. Az első a program ellenőrzésére szolgáló egydimenziós vízmozgás számítása. A második a kétdimenziós vízmozgás szimulációja. A dolgozat a kutatás kezdeti eredményeiről számol be, így egyenlőre nem vettük figyelembe a Coriolis erő és a szél hatását, valamint a turbulens folyadékcserét. Ezeknek az elhanyagolásoknak a fokozatos figyelembevételével a kidolgozott algoritmus alkalmas lesz tavak, tározók cirkulációs viszonyainak vizsgálatára, áramlást befolyásoló műtárgyak, például hidak, sarkantyúk, keresztgátak körül kialakuló áramképek modellezésére. 2. A kétdimenziós vízmozgást leíró alapösszefüggések A Brebbia (1977) által tárgyalt kétdimenziós szabadfelszínű vízmozgás differenciálegyenlet-rendszerének végeselem módszerrel történő megoldásánál egyelőre elhanyagoltuk a Coriolis erő és a szél hatását, valamint a turbulens folyadékcserét. Ezeknek az elhanyagolásoknak a figyelembevételével az impulzusegyenletek:
