Hidrológiai Közlöny 1983 (63. évfolyam)

4. szám - Szőllősi-Nagy András: A folytonos Nash-kaszkád adekvát diszkretizálása

160 Hidrológiai Közlöny 1983. 4. sz. Szöllősi-Nagy A.: A folytonos Nash-kaszkád ahol x (í

0) a / 0 időpontheni kezdeti állapot, 0 (.) az n*n méretű állapotátmeneti mátrix, amely kielégíti a d — 0(í, í

0) = F(í)'í»(«,í„) (FI—4) dl niátrixdifferenciál-egyenletet a f «„,«„) = !„ .. kezdeti feltétel mellett, ahol l

n az «-dimenziós egységmátrix. Az (FI—3) állapottrajektúria figyelembevételével az (FI—2) kimenet: 0 (f) = exp (F í) A (3) folytonos Nash-kaszkád F mátrixa felírható mint F = k(N„-I„) ahol N

h egy n-ed rendű nilpotens mátrix. Az Fí mátrix inátrixexponenciálisa definíeió szerint: e =I

k + F/+. . . + + .. . =e "e " y(í) = H(í)f(M, > <o>*«u> + J H(()'/>(<, r)G(r)u(r) dr (FI—5) Idő-invariáns rendszerek esetében az (F, G. H) mátrixok nein függenek az időtől. Tehát F (l) — Y, és az állapotátmeneti mátrix csak a t-t

0 időkülönbség függvénye. Az (FI—4)-bőI következik, hogy az állapotátmeneti mátrix 0 (t, t

0) = exp [F (/-(„)] (FI—(!) a rendszerniátrix mátrixexponenciálisa. Tehát a kimenet: t F(í-<

0) /• F(í-r) x(0 = H e x(í

0) + I He G u(r) dr (FI—7) V A kezdeti időpontban nyugalomban lévő rendszer, vagyis amikor x(t

0) = O, esetében az (FI—5) kimenet az y(0 = E / ll(/, r)ll(r) dr (FI—8) összefüggés szerint száinltbató, ahol h («, r)=H («) 0 (t, r) G (r) (FI—9) a rendszer impulzusválasz-mdtrixa. idő-invariáns rendszerekre h (t, r) = Ii (í-r), tehát (FI—8) az n —ll — kt\

n kt (kt? ,, U-t) 1» + -%+ N«+--- + 1! 21 (»-1)1 A sorfejtés, csak n—1 tagig tart, hiszen N» = 0 a nilpoteneia definíciójának értelmében. A sorfejtés tagjai: n k-t N, 0 kt 0 m

1 21 0 0 (kt? 21 kt 0 0 0 (.kt? 2! kt 0. a-t? 21 ü y(0 t. f h(<-t)u(i)dr (Fi—10) alakot ölti, ami nem más, mint a konvolució többváltozós megfelelője., Nyilvánvalóan: h (0 = H exp (F t) G (Fl —

II) Az (FI—8) és (FI—10) összefüggések lineáris dinamikus rendszerek extemális leírását adják meg. Amennyiben a folytonos rendszer bemenő/állapot/kimenő függvényeit diszkrét It időpontokban minta vételezzük, akkor a folytonos dinamikának megteleli diszkrét állapotegyenletet a következőképp állíthatjuk elő. Tegyük fel, hogy x (t) ismert — a í-edik időpontban •— és, hogy az u (t) bemenet a (í, Í + .IÍ] intervallumban állandó. Ekkor, (FI—3)-nak megfelelően Írhatjuk, hogy t + At \(t+At)-0(t + At, í)*(0+[ I <t>(t + At, r)G(r) drju(i) t Az alábbiak definiálásával: x< = x(0 ll( - u(i) 0(( U) = 0(t + Jt,t) (FI—12) (FI—13) t + At 11(J0= I 0(1- + Jí, t)G(r) dr (FI—14) r és (FI —12) figyelembevételével a keresett diszkrét állapotegyenlet: *t+At = 1't (-10 H + rt ( "> »« (FI —15) A diszkrét kimeneti egyenlet ugyanaz marad mint a folytonos esetben, y

t = H

tx

t (FI—Ili) lévén a kimeneti egyenlet tisztán algebrai és az semmiféle időbeni átmenetet nem tekint. F2. A folytonos Sash-kaszkád dllapoldtmeneti mátrixa A í

0 — 0 választással az (FI—0) állapotát meneti mátrix: n- 1 (k t) n-i N„ (»-D! melyek összegének szorzata az -kt 0 M-l a-t) (» — 1)1 -kt\

n -kt -kt 0 e máírix-szal a (8) állapotát meneti mátrixot adja. AFLCKBARNAH AHCKPETH3AUH» iienpepbiBiibix KHCKSAOB Hatna CeAAeuiu-Hudb, A. HacTojimaa paGora paccínaTpbiBacT flnci<peTH3aunK) KacKaflOB Hsrna Hcnojibsya npuHumibi npocxpaHCTBenHO-BpcMCHH0r0 MeTOfla. 3aflaeTCíi HenpepbiBHa>i npoCTpaHCTBGHHo-BpcMeHHax tjiopivia KacKa^üB Haina, a TaK>Ke pacciera MaTpmjbi HCIMCMCHHÍI COCTOJIHH>I H OTBCTHOÍÍ HMnyjibCHoií ifiyHKUHH. COCTABJIEHA ANCKPERNAH MOACJIB H3MeneHH>l COCTOMHHH. MaxpHLfbl COCTOHHHH, a raiOKÜ MaTpnubi Haxo;i>iTcji B pejiamm BXO/IOB. flucKpernbie penpeaeHtauHH neripepbiBHbix icacKa/ioB Hsuia CB>i3am.i Me>Kwy coGoií Mepe3 jiHHeiÍHyio TpaHctjiopMamiio. fliicKpeTHbie MOßejin HflenTHfHbi c HenpepbiBHbiMH KacKaaaiviH Haina npn KpaeBbix nepexoaax. ßHCKpeTHbie npocTpaHCTBeHHO-BpeMCHHbte MOfleJIH ÄHCKpeTHO KOHHUHfleHTbl c HenpepbiBHbiMH MoaejiHMH, OÄHaKO ymiTMBaioT AHHaMH4ecKne N3MEMEHHFL Me>Kfly ByM» MOMCHMMH OT^epa npoG AJIH BblÖOpKII. MTOIH HJIJIIOCTpnpyiOTCH na MHCJieHHblX fipiiMepax. ,