Hidrológiai Közlöny 1980 (60. évfolyam)
11. szám - Dr. V. Nagy Imre: Hidrológiai mérések optimalizálása
Dr. V. Nagy I.: Hidrológiai mérések optimalizálása Hidrológiai Közlöny 1980. 11. sz. 479 + CT|' ri-p 2(p n-lZi+p n~ 2Z 2+ . . . +í>Z„_i + Z n) vagy más formában: ti=pHt+oz*}ll-p*n; z*m 0,1) (2) Jelöljük (n=0, 1,2, ...); z* karakterisztikus függvényeit a <p n(t) és y) n(t) kifejezésekkel. Mivel íj és z* egymástól függetlenek, ezért <Pn{t) =<Po(P nt) ip(otYl-p^) (3) Ismeretes, hogy a standard normál eloszlás karakterisztikus függvénye cp{t)=e-t«/, tehát ~i-|> V i-p 2" jrT <pn(t)=cp 0{pH)e Mivel egy tetszőleges <p(t) karakterisztikus függvény a számegyenesen egyenletesen folytonos és 93(0) =1, valamint \p\ ezért lim <p n (t) = n 00 2 í 2 • OO <(< Í» ahol a jobb oldali tag nem más, mint a a szórású és zérus Várható értékű normális eloszlás <p(t) karakterisztikus függvénye. Mivel Rényi A. [9] szerint az F n(x) eloszlásfüggvények (n — 1, 2, . . .) akkor és csak akkor konvergálnak egy F(x) eloszlásfüggvényhez F(x) minden folytonossági pontjában, ha az F n(x) eloszlásfüggvények <p n(t) karakterisztikus függvényei n -»- <*> esetén olyan <p(t) függvényhez konvergálnak, amely a í=0 pontban folytonos. Ekkor <p(t) az F(x) karakterisztikus függvénye és a <p n(t) karakterisztikus függvények konvergenciája minden végos intervallumban egyenletes. Ezen tételből viszont egyenesen következik, hogy ( n eloszlása (elegendően nagy n esetén) a a szórású ós /Í várható értékű normális eloszláshoz tart. Csökkentve a mérések számát (tehát csak a minden n-edik mérést végezzük el), a [ | n*] sorozathoz jutunk, amely szintén autorogresszív modellel fejezhető ki, azaz !n(* +l) =/«+?>'(£nt~ fJ,) + zí +io\ l-p' 2 (4) ahol p' =p n és P n~ 1Znk +1 -\-p n~ 2Znk+2+ • • • -\-VZnk + n -1 + Znk+n Zk + l=f l-p 2 információtartalom független attól,hogy az adott n mintát honnan választjuk, ezért a jelölések egyszerűsítése céljából vizsgáljuk a | 1, | 2, . . ., f„ változókat. Legyen tehát f =(| 2, ..., |„) egy n-dimenziós normális eloszlású valószínűségi változó, amely esetben a várható érték: p, . .., p) s jelöljük D-vel a | változó kovariancia mátrixát. Nem jelent elvi nehézséget az, ha feltételezzük, hogy p =0, mivel a várható érték az entrópia szempontjából nem jelentős, azaz Hc = H( + c A D kovariancia mátrixra vonatkozóan felírható D =(dij)nxn, dij =E |\j. Felhasználva a kifejezést, közvetlenül belátható, hogy azaz D=o 2 1 P P 2P 3 .. p n~ X p 1 PP 2 pn~ 2 p 2 P 1 p . P ,n~ 1 1 1 -p* megjegyezve, hogy z^iV(0,l) minden k értékre s a zi értékek egymástól teljesen függetlenek. Határozzuk most meg azt, hogy egy n számú mérésből álló mérési sorozat a Shannon-féle értelemben mennyi információt tartalmaz? Mivel a vízhozammérési sorozatunkat közelítésként stacionáriusnak tételeztük fel, így a kérdéses és a fenti mátrix determinánsa: Jelöljük most az £ valószínűségi vektorváltozó sűrűségfüggvényét a i(x) =f(«i, x í x„) szimbólummal, s ennek entrópiáját a H (=- J J ... j í(x) Hogt(x) dx x. . ,dx„ át £ sűrűségfüg L x*D~ 1x 1 2- -J Mivel D szimmetrikus, pozitív definit mátrix, így létezik a C ortogonális mátrix (C1 =C*), tehát D = C*SC ós S diagonális, valamint =|D|). Végezzük el a Cx=y helyettesítést. Ekkor az x*D~ lx kifejezés az y*(D~ 1C*y) =y*S~*y négyzetösszeggé alakul át. A helyettesítés Jacobi-determinánsa: A = \C\ = ±1. Tehát a | valószínűségi vektorváltozó entrópiája: kifejezéssel, amely esetben tehát £ sűrűségfüggvénye: 1 f(^) = e xP OO 00 Hr f s-s- (2 n)»/ 2 — 00 — 00 )n/2|^|l/2 X
