Hidrológiai Közlöny 1980 (60. évfolyam)

5. szám - Ambrus Sándor: A Budapest–Baja Dunaszakasz vízállásának real-time adaptíve előrejelzése

Ambrus S.: A Budapest—Baja Dunaszakasz Hidrológiai Közlöny 1980. 5. sz. 215 így es ahol az egyes paraméterek az azonos kitevőjű q~

l operátor együtthatóira felírt egyenletekből rekurzív módon fejezhetők ki, pl. Cl=«l+/l> c

2=a

2+a

1/

1+/

2, és így tovább. A (6) helyettesítésével az (1) egyenlet az alábbi alakra hozható: y(t+k) yMAz első tag egy véletlen elemű független sorozat mozgó átlag polinomja. A két tag a (3) feltevés értelmében egymástól független. Az optimális előrejelzést a (7) egyenletből akkor kapjuk meg, ha a veszteségfüggvény minimális, azaz a véletlen tagok összege zérus, vagy ahhoz konvergál. Az optimális előrejelzőt tehát ahol afa"

1) =a

1+a

2g1H- .. . + a,//-p v(q~

x) =ri+ • • • + a p, r. s paraméterek a polinomok fokszámai. A modellépítés egyik legfontosabb kérdése épp e három paraméter megválasztása. A (14) egyenlet változóit vektor alakban írva xT(t)={-y(t+k-l\t-\), ...-y(t+k->p\t-p), u(t). . .u(t-r-f 1), e(t). . .e(<-s+l)] ami a változók vektora, és a

T(í)=[«i> «

2 - • • Pv Pv • • -Pr, Yv Vv • • • v<\ a paramétervektor (T a transzponálás jele). A (14) egyenlet ezzel az y(t+k\t)=xT(t)-d(t) (15) alakot ölti, ahol a(t) a paramétervektor becslése a t időpontban. A paraméterbecslést rekurzív legkisebb négyzet (LKN) módszerrel végezzük [16]. Az algoritmus blokksémája a 2. ábrán látható. (8) alakban választjuk. Ez az (5) és (6) kifejezések 1 >ehelyettesítésével e(

t) Fehérzaj c(n-') A(tfí y(t\t-k) Rendszer Uj(t) Segédvóltozó bff) y(t) G(q~

l) (9) alakra hozható. Ezzel megkaptuk az optimális előrejelző általános formáját. Az előrejelzés hibája ebből a (8) és (1) egyenletek segítségével e{t+k)=F(q-i)e(t+k) alakban ítható fel. Azt kaptuk tehát, hogy a predikciós hiba (k—l)-edfokú mozgó átlag: e(t+k) =e(t+k)+f

i

e(t+&- 1)+ • • • +h-A*+1). A hiba szórásnégyzete, azaz a veszteségfüggvény ennek alapján Hiba c(l'

1) W)u(t) i- Előrejelző y(t*K-1\t-1) a(q')dH-1 \M) a(q') V =V{e*(t+k)}=o*(l+f?+fl+ • • • +fU)(10) Jelöljük a (9) egyenletben szereplő operátorpolinomokat a következőképpen: A{q-i)F[q-*)= l+g-MíT

1) (11) G(q~

1)^y{q1) (12) A (9) egyenlet ezzel az y(t+k\t) =-*{q-i)y{t+k-\\t-l+ y(q~

1)e(t) (13) alakra hozható. A felső vízmérce mérési adatait az egyenletben az u(t), t = 0, 1, 2,. . . ismert bemeneti függvény bevezetésével vesszük figyelembe [5], [8]: y(t+k\t) =- a(q-i)y(t+k- l|í-1) + +P(q1)u(t)+y(q~i)e(t), (14) 2. ábra. Az önbeálló előrejelző blokksémája <t>uz. 2. BAOK-CXCMU caMopeeyAupywu)eeo npoeno3iioeo ycmpoücmea 3. Az önbeálló előrejelző algoritmusa A módszer négy iteratív lépésből áll, melyeket minden diszkrét időpontban elvégziink. A í-edik pillanatban ezek a következők: 1. lépés: Előrejelzés az előzőleg becsült paraméterek és a mérési adatok alapján (15): y(t+k\t)=x^(t)a(t). 2. lépés: Mérések a t időpontban. Most y(t) birtokában az előrejelzés e(t)=y(t)-y{t\t-k) (16) hibája számítható. 3. lépés: A P konvergenciamátrix rekurzív becslése P a paraméterbecslés hibájának kovarianciamátrixa, a fehér zaj szórásnégyzetével normáivá [9] P=^E{(a-«)(a-»H e