Hidrológiai Közlöny 1977 (57. évfolyam)
12. szám - Dr. Varga István: Szabályozott vízszintű csatornák általános dinamikai vizsgálatának elmélete
544 Hidrológiai Közlöny 1977. 12. sz. Dr. Varga I.: Szabályozott vízszintű csatornák Y + V{x,p)-' &*=o(p) ~ B(p) exp r 2x [d+B(p)][\-ex V-(r 1-r 2)l] ( r i-r 2)(l-x)] (3.14c) l-m^m exp B(p) d+A(p) 4. A O x=*i(p) hatására jelentkező W_(x,p) relatív középsebesség-változás átviteli függvénye: A(p) exp — x) (d + A (p)11 - exp -(r x-r 2)Z] B(p) d+A(p) 1A(p) d+B(p) exp -{r^-r^x (3.14d) Az átviteli függvények segítségével a szabályozott szakasz átmeneti áramlási állapotai a következő mátrixegyenlettel írhatók le: X 4 i(x, p) = Y s(x, p) • X 5 b(p) Részletesebben kiírva: íZ(x, p)l = fY + z(x,p); Y_z(x, p) VP(X,P)\ IF + V(X, P); Y_ v(x,p) (3.15a) Í0*=o(í>)l \&x=l(p)\ (3.15b) A (3.15b) a mátrixalgebra szorzási szabálya szerint kifejtve: Z(x, p) = Y + Z(x, p) • 0 x^o( V) + p)®z=i(p) ¥(x,p)=Y + v(x,p)0 x=o(p)+Y_ v(x,p)O x^(p) (3.15c) A (3.15) összefüggések a határszelvényekben fellépő — de egyébként tetszőleges — relatív vízhozam-változások hatására bekövetkező átmeneti állapotot jellemzik az operátortartományban. Megjegyzés : Az időtartományra való áttérés, mint ismeretes, az inverz Laplace-transzformációval lehetséges, formálisan a Riemann-Mellin összefüggéssel [7] e+joo t(x, t) = C~ 1lZ(x,p)] = -~ f Z(x,p)ePtáp 2 ti? J C—JOO C+í~> <p(x, t) = 0~ 1[W(x,p)] = I xF(x, p)eP' dp 2nj J E — JOO ahol általános esetben p = a+jr komplex szám, p 0 — Z(x, p), ill. W(x, p) függvények pólusa, R e(Po) — a pólus valós része, c>Re(p 0); Re(p)> Re(p 0), vagyis az integrálás a Z(x, p), lF(x, p) függvények regularitási tartományára vonatkozik. Abszolút értékekre visszatérve: h(x,t) = h 0(x) + h' 0-Q(x, t) v(x, t) = v 0(x) + v' 0-rp(x, t) Itt a jobboldalak azonos ,a; koordinátájú szelvényre összegeződnek, és h { )(x) — a t = 0 időpontban adott felszíngörbéhez tartozó vízmélységek hosszmenti eloszlása vo( x) — a £ = 0 időpontban adott felszíngörbéhez tartozó középsebességek hosszmenti eloszlása. A szabályozott szakasz Ys(x,p) átviteli mátrixa nemcsak az átmeneti állapotokat, hanem az új permanens, egyensúlyi helyzetet is jellemzi. A Laplace-transzformáció aszimptotikus összefüggései alapján az operátor- és időtartomány között t -*• OO esetén visszatranszformálás nélkül is meghatározható összefüggés adódik [7], A határértéktétel szerint, időtartományban a kimenőjelet t oo állandósult állapotban a transzformált függvényének 73 — O értéke jellemzi. Esetünkre: X s*(a;, °°) = lim \ s k(x, t) - lim 7>X,*(X, p) t-*- 00 feltéve, hogy a jobb oldali határérték létezik. Ha meggondoljuk, hogy a határszelvényekben jelentkező relatív vízhozam-változás hatására jelentkező kimenőjelek állandósult állapota csak a bemenőjelek állandósult értékétől függ — amelyek egyensúlyi állapotban szükségszerűen azonosak —, feltéve, hogy egyáltalán van ilyen. Ha a határszelvényekben fellépő relatív vízhozam-változást egységugrás-függvénynek vesszük fel [1.3. ábra'], ami az Hft < 0; \>~0(q=q 0) 0 t 3. ábra. A relatív vízhozamváltozás egységugrás-függvénye Fig. 3. Unit-jump function of relative change in discharge állandósult állapot szempontjából egyenértékű az egységnyi végértékű, tetszőleges lefolyású, monoton változással, akkor a rendszer kimenővektora az egységugrás-függvényre vonatkozó átmeneti vektor, jelöljük ezt x' s^(x,t), akkor lim x' s k(x, t) = »-»CO = lim p — Y»(a;, p) = Y,(x, 0)1 p—0 P ahol 1 — az egység-oszlop vektort jelöli. Ez azt jelenti, hogy az új, állandósult állapot explicit összefüggéssel jellemezhető, ha az átviteli mátrix p — 0 határértékét szorozzuk a tényleges, állandósult relatív vízhozamváltozással. Alkalmazva a határértéktétel a (3.14) összefüggésekre :
