Hidrológiai Közlöny 1977 (57. évfolyam)

12. szám - Szöllősi-Nagy András: Szochasztikus irányítási modell vízfolyások oxigénháztartásának folyamatos szabályozásához. III. rész

Szőllősi-Nagy A.: Sztochasztikus irányítási modell Hidrológiai Közlöny 1977. 11. sz. 529 [94] Willis, R., Anderson, D. R.—Dracup, J. A.: Steady-state Water Quality Modeling in Streams, J. Env. Eng. Proc. ASCE, Vol. 101, No. EE2, pp. 245—258, 1975. [95] Winn, C. B.—Moore, J. B.

: The Application of Optimal Linear Regulator Theory to a Problem in Water Pollution, IEEE Trans. Systems, Man and Cybernetics, Vol. SMC-3, pp. 450—455, Sept. 1973. [96] Yih, S. M.

—Davidson, B.: Identification in Nonlinear Distributed Parameter Water Quality Models, Wat. Res. Res. Vol. 11, No. 5, pp. 693—704' 1975. [97 ] Young, P.

—Beck, B.

: The Modelling and Control of Water Quality in a River System, Automatica, Vol. 10, pp. 455—468, 1974. p ü G <; E L f: K F. 1. Lemma: Legyen X€ X és zíZ ugyanazon a valószínűségi mezőn értelmezett két valószínűségi változó ós legyen az u irányítás megengedhető, HC U. A ./ költségfüggvényt definiáljuk a J : XxZxU — R

1 leképezéssel, és a várható költséget jelölje ^{J(x, z, u)}, ahol £ az xés z szerint vett várható értéket jelenti. Az u irányítás legyen u : Z—U. Jelölje m

m <%/(x, z, u)} a várható költség összes megu(z) engedhető irányítás szerinti minimumát, továbbá <5{ • I z) adott z melletti feltételes várható értéket. Tegyük fel, hogy az /(z, u) = /j{J(x, z, u) | z} függvénynek létezik \jzíZ-re egy ós csakis egy u szerinti minimuma ós jelölje u*(z) = arcmin /(z, u) a mimimumhoz tartozó u irányítást. Az irányításelmélet alapvető optimalizálási lemmája [51, 88] akkor azt állítja, hogy min <C{J(x, z, u)| = <5{J(x, z, u*(z))} = <5{minrf{J(x, z, u) | z}} , ahol a z szerint vett feltételes várható értéket jelenti. z Bizonyítás: Az összes megengedhető irányításra fennáll, hogy /(z, u) s/(z, u*(z)) = min /(z, u), u vagyis <5{j(x, z, 11)} = £{f(z, u)} =*<5{/(z, u*(z))J = <5{J(x, z, u*(z))} = ^{min £{J(x, z, u) | z}} . A bal oldal,összes megengedhető irányítás szerinti minimalizálásával kapjuk: min <5{j(x, z, u)} z, U*(z))\ = <5{min <C{J(x, z, u) | z}} (I) Mivel u*(z)e U is megengedhető irányítás, ugyanakkor igaz az is, hogy z, u*(z)} amin <3{«7(x, z, u)}. (II) (I) és (II) összevetéséből pedig következik a lemma állítása F. 2

.Lemma: Legyen x egy normális eloszlású valószínűségi vektorváltozó x várható értékkel és 1* kovarianciamátrixszal, ós legyen S egy szimmetrikus nem negatív definit mátrix. Akkor [2] D Bizonyítás: A kvadratikus alak definíciójából következik, hogy <5{|| x||*} = <5{(x- x)rs(x - x)} 4-<C|x

rSxj + <5{x} - <C{xí"Sx} = <5{(x - x)7S(x - x)} 4- x^Sx, (III) mivel í>(x} = x. Továbbá: (x-xFS(x-x)= ^ (x-x)S(x-x)r= ^ S(x-x)(x-x)*\ D D ós mindkét oldal várható értékét képezve: <5{(x-x)TS(x-x)} = <s/ 2 S(*-x)(x-x)*j= 2 S<5{(x - x)(x - x)

T) = 2 S

P> D I) I) amit. (IU)-ba helyettesítve megkapjuk a lemma állítását. JEGYZETA III. RESZHEZ 1

0 A Q költségmátrixok elemeinek megállapítása tulandonképpen a szennyvízbírság-politikával van kapcsolatban: azonos szennyezésért minden szennyvízbebocsátót azonos mértékben bírságolunk-e ? vagy talán valamilyen prioritási szabályt állítunk fel ? Ez utóbbi esetben a költségmátrixokra előírhatjuk, hogy Qm'O', k) > Q

M'+ !(?', k), M = 0,1,2; 1=1, 2 M-L legyen, ahol j és k egy adott mátrixelemet jelöl. Az egyenlőtlenség azt jelenti, hogy az alsó szakaszt nem büntetjük jobban, mint a felsőt, hiszen épp elég büntetés annak a felső szennyezését elviselni és a szennyezett folyó vizét saját céljaira használhatóvá tenni. E fontos probléma tárgyalása azonban kívül esik dolgozatunk célzott keretein, így részletesebben nem foglalkozunk vele. Annyit megjegyzünk még, hogy a feladat megoldására a játékelmélet kínál gyümölcsöző eszközt [8]. A [24] munkában hasznosságelmóleti megközelítést alkalmaztak a problémára a Pareto optimumot megtalálandó.