Hidrológiai Közlöny 1977 (57. évfolyam)
10. szám - Szöllősi–Nagy András: Sztochasztikus irányítási modell vízfolyások oxigénháztartásának folyamatos szabályozásához
440 Hidrológiai Közlöny 1977. 10. sz. Szőllősi-Nagy A.: Sztochasztikus irányítási modell w(t)~N(0, II,{/)). Megjegyzendő, hogy az R 1(í) kovarianciamátrix általában ismeretlen és az irányítási folyamat során az on-line mérési eredményekből becslendő. Bár — ahogy ez majd a későbbiekből kitűnik — a becslési algoritmus elég bonyolult, azonban meg van az az előnye, hogy felhasználja az újonnan nyert mérési eredményeket, szemben a Thayer és Krutchkoff [84] javasolta eljárással, sőt annál még egyszerűbb is. Az állapot-, irányítási-, és sztochasztikus változók fenti definícióinak valamint a (4) egyenleteknek figyelembevételével kapjuk a vízminőségszabályozási folyamat dinamikájának lineáris, koncentrált paraméterű, idő-invariáns modelljét: dx(t) d t = Fx(í) + Gu(í) + w(í), (14) ahol 1 = -K r -K r Ka G= A diszkrét modellé való átalakításhoz tekintsük a (14) inhomogén egyenlet vonatkozó homogén dx(<) dí = Fx(í) (15) állapot-differenciálegyenletét, s keressük annak megoldását x(í) = á>(í, í 0)x(í 0) (16) alakban, ahol x(í 0) a t = t 0 időponthoz tartozó kezdeti állapot, míg 0(t, t 0) az állapotátmeneti mátrix, mely a kezdeti állapotot egy tetszőleges, későbbi időpontbeli állapotba képezi le. Természetesen: 0(t o, <„)=I, vagyis amikor í = í 0, az állapotátmeneti mátrix az egységmátrixszal egyenlő. Ha egyszer már meghatároztuk az állapotátmeneti mátrixot, akkor tetszőleges kezdeti feltételhez megállapítható a (15) differenciálegyenlet explicit megoldása [14]. Ehhez tekintsük a (16) feltételezett megoldás idő szerinti deriváltját dx(í) d —.—= X(Í 0) — ®(«,ío). át dí (17) A G mátrix jobb alsó elemének negatív előjele utal arra a tényre, hogy növekvő levegőbevitellel az oxigénhiány csökken -— és megfordítva. Ha a K tényezők idővariánsak, akkor F=F(£), ez azonban nem változtat a megoldás menetén. Látható, hogy a hőszennyeződés folyamatát jellemző (11) egyenlet figyelembevételekor — a vízhőmérséklet és az egyensúlyi hőmérséklet különbsége mint állapotváltozó definiálásával — a (14) alakú rendszerleíráshoz jutunk, a különbség csupán annyi, hogy az állapotvektor a háromdimenziós állapottérben fekszik. A (14)-re érvényes módszerek így a hőszennyeződés esetére is érvényesek. A (14) folytonos vektor-differenciálegyenlet megoldása szolgáltatja az időben folytonos állapotváltozók viselkedését — az állapot-trajektóriát. A folytonos modellt azonban közvetlen irányításra nem tudjuk felhasználni, mert — az u(í) irányítás nem mindenütt folytonos, hanem csak szakaszonként, ahol is a technológiai korlátokból következően állandó (nem változtathatjuk meg minden időpontban az üzemrendet); — az állapotváltozókra vonatkozó mérések általában diszkrét időpontokban állnak rendelkezésre ; — a modell nagy számítási igénye miatt csak digitális számítógépen realizálható, ami diszkrét modellt igényel [75], Ahhoz, hogy a (14) folytonos modellt időben diszkrét modellé alakítsuk át, nyilvánvalóan nem tehetjük meg azt, csak úgy, hogy (14)-et vektordifferenciaegyenletté írjuk át változatlan F és G mátrixok mellett, hiszen akkor elhanyagolnánk a folyamat két mintavételi időpont közötti folytonos dinamikus változását — másként: akkor eltetenénk a mintavételek között lejátszódó folytonos állapotátmeneti (lebomlási és egyéb) folyamatoktól, ami meghamisítaná a rendszer viselkedésének leírását. valamint szorozzuk be balról (16)-ot az F mátrixszal, melynek eredményeként (15) a dx(í) ~~dT = F 0(t,t o)x(t o) (18) alakot ölti. (17) és (18) összevetésével kapjuk, hogy d dí 0(t, í 0) = F<£(í,í 0), (19) lóvén, hogy azoknak tetszőleges x(í 0) állapot mellett is teljesülniük kell. Az idő-invariancia következtében az állapotátmeneti mátrix csak a t — t a eltolási időtől függ: 0(t, t o)=0(t—t o), vagyis a (19) mátrix-differenciálegyenlet megoldását a 0(t-t o) = e f>V—t 0) (20) mátrixexponenciális adja. Az előzőekből könnyen belátható [14], hogy az állapotátmeneti mátrix a 0(t 2, t o) = 0(t 2, h)0(t u t 0) explY^-t^expíF^-t^expíF^ -<„)] (21) tulajdonsággal bír, amiből következik, hogy mindig létezik inverze: 0~\h, t 2)=0(t 2, í,) exp[-F(í,-t 2n=exp[F(t 2-t 1)]. (22) Tekintsük ezek után a T={t:t=t 0,t 0+1, ...,t f} diszkrét időhalmazt, és határozzuk meg az egymást követő diszkrét időpontok közötti állapotátmenetet. (A T halmazban t 0 a folyamat kezdetének, t f végének idejét jelöli. Jelölésbeli egyszerűség kedvéért a mintavételi időközt egységnyinek választottuk. A t f végidő általában rögzített, tj=N — így esetünkben is, és az üzemeltetési (optimalizálási) horizontot jelöli ki.) A t és í+1 diszkrét időpontok közötti állapotátmenetet (20) értelmében a &(t+\,t)=®(\)=e v (23) mátrixexponenciális jellemzi. Az F mátrix — —K r, ). 2= — K a sajátértékei negatívak, tehát a (15) vektor-differenciálegyenlettel leírt rendszer stabil. A Sylvester-féle kifejtési tétel (1. pl. [67]-ben) alkalmazásával a 0 egylépéses állapotátmeneti mátrix tehát a
