Hidrológiai Közlöny 1977 (57. évfolyam)

9. szám - Dr. Kontur István: A lefolyás általános lineáris kaszkád modellje

410 Hidrológiai Közlöny 1977. 9. sz. Dr. Kontur I.; A lefolyás általános lineáris Az eddig elmondott rendszerek Markovi modellként kezelhetők. Az állapotleírás általános formája : S,= S«_i •&{t)+ x

(- r(t) (I-n) (1-n) (n-n) (l-m) (m-n) (36) ahol 0(t) az állapotváltozások idővariáns mátrixa, r(t) a külső hatások mátrixa. Az előző pontokban 0 speciális, időinvariáns eseteit láttuk: mint K, A, B, C és D mátrixok. A (2), (10), (18) képletekben r=l

n feltételezéssel éltünk. A hidrológiában érdekes kimeneti idősort pl. vízhozamot, az állapotvektor transzformációjából kapjuk: y(í) = M(í) -s'(<) (r-1) (r-n) (ra-1) y ' ahol M(<) az idővariáns mérési mátrix, y(t) az r méretű mért változók vektora, s' az állapotvektor transzformáltja. A (31) és (32) képletek alkalmazásakor speciálisan r= 1 és M = [0, 0, ... q] volt. A (36) és (37) képletek egyesítése: y(t) = M -0 -s(í— 1) + M •r -x(t) (r-1) (r-n) (n-n) (»•!) (r-n) (38) (n-m) (m-l) nem idő variáns esetben. (A transzponálás jelét elhagytuk.) A (38) a (36) összefüggés rekurzív alkalmazásával az <-i y(t)= 2 M0*rx(í-/fc) + M0's

o (39) * = 0 A két egyenletből az állapotleírás: (l-JQZ-l 7. ábra. Hagyományos kaszkád modell egységárhullámai q = 0,2 Puc. 7. EduHutHue eudpoepaißbi ÖAR mpaduifuOHHOÜ KÜCKadHoü ModeAU q = 0,2 Fig. 7. Unit hydrographs for conventional cascade model <7 =0,2 alakban írható fel. 0 speciális tulajdonsága a képletet leegyszerűsíti. A Muskingum lefolyás számítási eljárás mint két tározós eset fogható fel. S^t) — a tározás, S

2(t) — a lefolyás: S

1(t)=K-X-R(t) + (1 -X) -K -S

2(t) (40) a hidraulikai egyenlet, ahol K és X paraméterek, R(t) a befolyás (input). A folytonossági egyenlet: S

1(t) = S

1(t-l)+R(t)-S

2(t) (41) Az előző pontokban bemutatott rendszereket néhány példán keresztül világítjuk meg. A 7. ábrán az A mátrixszal leírt egyszerű lineáris tározók sorozatának modellje látható q= 0,2 esetben. Ez azt jelenti, hogy egy időegység alatt a tározott vízmennyiségnek 1/5-öd része folyik ki a tározóból. Az ábrán 5 tározó sorbakapcsolását látjuk, a tározott vízmennyiséget az egyes tározókban, ha az induló <S'(0) vízkészlet az első tározóban a t = 0 időpillanatban egységnyi volt. A többszörös vízmennyiségek lineáris művelettel állíthatók elő. 8. ábra. Kaszkád modell egységárhullámai, egyetlen tározóban való visszaduzzasztás esetén Puc. 8. EduHuiHbie audpozpacßbi Kaacadnoü ModeAU npu nodnope e OÖHOM U3 eodoxpaHUAUUi Fig. 8. Unit hydrographs of the cascade model, for back water in a single reservoir A 8. ábrán egy olyan speciális rendszert mutatunk, ahol a 4. tározóból (állapotból) 0,4 valószínűséggel viszszaáramlás történik a 3. tározóba. Jól kivehető az ábrán hogy a 3. állapot a vizet „magába nyeli" és így tekintélyes tározott térfogat jön létre, a 4. és 5. tározók gyarapodása erősen késleltetve jelentkezik (3. valóságos tározó szerepét tölti be). A 9. ábrán a B mátrixszal jellemzett ún. síkvidéki kaszkádmodell esetének egy példája látható. q = 0,3 és p= 0,1 paraméterek esetén. A lefelé áramlás átlagos valószínűsége itt is 0,2 de a tározók állapotváltozásai más képet mutatnak, mint az előző esetben: a felfutás me-