Hidrológiai Közlöny 1975 (55. évfolyam)
12. szám - Kontur István: Hidrológiai rendszervizsgálati modell vízhozamidősor előállítása. (I. rész)
552 Hidrológiai Közlöny 1975. 12. sz. Kontúr 1.: Hidrológiai rendszervizsgálat / V rV%< x-V; ft,-t cV>. „ /„)- & ,s J v<> ! -V v u> 9jW (v<i>-v F Vmax vl Ymm J [ max V r i t = h Érdemes megvizsgálni, hogy az adott feltételek mellett milyen lesz az átvonulási sebességek sűrűségfüggvénye ! A valószínűségi változók függvényének eloszlására vonatkozó tétel alapján kapjuk: -Xj.l. < VU) ) v max V l VU)2 _„ vU) max 1 max (7) ahol Ostiií Vma.% értékekre értelmezett, V\ — t> ma x — v, ha v — a tényleges sebesség. lj, és »„ax a szakaszra jellemző állandók, lj — a szakasz hossza. A sebesség eloszlásra levezetett összefüggés meglehetősen reális képet mutat (2. ábra). Véleményünk szerint a lejtőn való lefolyás sebességeloszlásának jellemzésére is alkalmas a (7) sűrűségfüggvény. Egyszerű végeredményhez jutunk, ha az Li úthosszát úgy szakaszoljuk r részre, hogy tj—t minden j-re. Ebben az esetben r számú azonos exponenciális valószínűségi változót kell összegezni. Legyen a, teljes levonulás az rj valószínűségi változó és legyenek í v í 2, ... f r független exponenciális eloszlású valószínűségi változók azonos A = 1/í paraméterrel. Keressük az összeg eloszlását. A megoldást a karakterisztikus függvények alkalmazásával könnyen előállíthatjuk [7], A I változó karakterisztikus függvénye: 1 cp ((x) = — ahol i — a komplex egység, x — a karakterisztikus függvény változója. így t] valószínűségi változó karakterisztikus függvénye: Vti( x) = — 7—rr> ( 8 a) ( »•IV l 1-—) 2. ábra. A levonulási idő és a sebesség eloszlás és sűrűség függvénye Puc. 2. nAomHoemb eepoartmocmb u (ßymcifusi pacnpedeMHua epeMenu u cicopocmu doöeeaHun Fig. 2. Functions of runoff time, velocity distribution and density Az (1) összefüggést elfogadtuk, az átvonulási idő exponenciális eloszlású, sűrűségfüggvénye a j. szakaszra (2. ábra):. fj(t)=X jelr t , ( 6) ahol t=t\] — tofXj a j. szakaszon való átáramlás idejének, tj reciproka [4]: 1 ami éppen a.z r — paraméterű gamma — eloszlás karakterisztikus függvénye. Tehát J? valószínűségi változó sűrűségfüggvénye : fr-tr-i f(t, A, r) = e~u. (8) Az f(t, A, r) sűrűségfüggvény integrálja 0 -c t < 00 között definíciószerűen egységnyi. A = 0 időpontban a AFi területre hulló egységnyi csapadókból [5] szerint í x = = T^ időpontban induló és T{ paranTeterekkel jellemzett árhullám keletkezik. A; és r» között jól meghatározható összefüggést fedezhetünk fel. _ _ Figyelembevéve (3)-at és azt, hogy lij=(t 0 + t) -vj 4«. £ „f.(,»+!). )= 1 (9) Tervezési szempontból jó közelítéssel átlagos sebességgel számolhatunk, az LO) szakaszon v( l) és így az ún. átlagos lefolyási idő; n gyakorlatilag is egyszerűen számolható: T -v(i) = <(»). r -v(«)4-Í-r •«('), i 0 i i (10) Átrendezve és egyszerűsítve, figyelembevéve, hogy n(i). ri-t o = r, 1 0 (11) Ez azt jelenti, hogy ha az rí szakaszszámot felvettük, akkor A számolható, vagy megfordítva. (Utóbbi esetben r nem valószínű, hogy egész szám lesz, így (8) kifejezés nevezőjében nem-teljes gamma függvény kerül: /*(»").) Milyen előrelépést jelent modellünk a klasszikus vízgyűjtő karakterisztika görbével történő számoláshoz képest? A vízgyűjtőn történő levonulás véletlen törvényei hatására jön létre. Ezt figyelembe tudjuk venni. Mennyivel jelent több munkát az új módszer ? Két izokron vonalas térképet kell készítenünk a korábbi egy helyett: az egyik a legrövidebb levonulási időket tünteti fel TQ* ([5] képlet), a másik az átlagos lefolyási időket xAz olvasóban felmerül a kérdés jobb-e módszerünk, hiszen csak közelítőleg, becsléssel tudjuk megállapítani a legrövidebb és az átlagos levonulási időt is ? Ez igaz, de mivel valószínűségi modellről van szó, az idők meghatározásában elkövetett hibák messze kisebb hatással lesznek a végső eredményre, mint determinisztikus modell esetében. A lefolyási hullámkép szerkesztésénél még eddig nem vettük figyelembe, hogy a AFi terület nagysága és a ráhulló ha) csapadékmagasságbóf ha) • AFi vízmennyiség keletkezik. Ezért az egységnyi térfogatból keletkező hullám minden ordinátáját — (8) képlet — ha)-AFi-\e\ szorozni kell. A szerkesztésnél további egyszerűsítést jelent, ha r» — -To ) = a-T <o > feltételt elfogadjuk, ahol a a vízgyűjtőre jellemző nem negatív szám. így r»= = (1 + a) •í To ), vagyis az átlagos lefolyás valamilyen konstansszorosa a minimális leérkezési időnek. Jól
