Hidrológiai Közlöny 1975 (55. évfolyam)

8. szám - Dégen Imre: Kockázat szerepe, elemzésének matematikai módszerei a vízgazdálkodásban

338 Hidrológiai Közlöny 1975. 8. sz. Dégen I.: Kockázat szerepe 7. ábra. Költség és veszteségfüggvény a vízállás függvényében s f px A / /)\ é f 7 /VVA / //A Hp/ \f(h) h

0 J oft, \h 8. ábra. Véges mintából becsült vízállás sűrűségfüggvény ' Vízállás, h [cm] 9. ábra. Bizonytalanságra jellemző g(hi) sűrűségfüggvények a Tisza polgári vízmércéjén mért évi legnagyobb vízállások eloszlásfüggvényére és költség összege h Z(h)= f L(h) f(h) áh—A K(h), (6) C ahol h

0 a jelenlegi kiépítés, A K(Ji) pedig a h

0-ról h szintre való kiépítés többlet költsége. A klasszikus optimalizációs eljárásnál a fenti Z(h) függvény, azaz a várható tiszta eredmény maximumát határozzák meg. A Z(h) célfüggvény tartalmazza a véges mintából becsült f(h) sűrűségfüggvényt, így Z(h) is a „mintavételi bizonytalansággal terhelt" célfüggvény. Az f(h) sűrűségfüggvény bizonytalanságát tetszőleges h helyen az F(h)-hoz (az eloszlásfüggvényhez) tartozó abszcisszaértékek gh{h) sűrűségfüggvényével jellemezhetjük (9. ábra). Az F(h) eloszlás bizonytalansága következtében az F(h) valószínűségi szinthez nemcsak az eredetileg választott h vízállás felelhet meg, hanem attól véletlenszerűen eltérő különböző valószínűségű abszcisszaérték tartozhat. Miután egyértelműen nem határozható meg valamely valószínűséghez tartozó vízállás, így a különböző, azonos elemszámú mintából származó, az F(h) valószínűségi szinthez tartozó vízállások sűrűségfüggvényét szimulációval célszerű meghatározni és ez alapján mérlegelni a várható eltérések gazdasági hatását [7]. Jelölje g(h) ezeknek azaz F(h) valószínűségi szintnek megfelelő vízállásoknak a sűrűségfüggvényét. A h Z(h)= [ {[l-F(h)]g(h)+f(h)}L(h)dh-AK(h) < (?) függvény első tagjával lehet kifejezni azt a kárt, amely abból származik, hogy az F(h) valószínűségi szinthez tartozó vízállás nem feltétlenül h, hanem a g(h) sűrűségfüggvénnyel rendelkező valószínűségi változó. A Tisza egyik szelvényére elvégzett számítások eredményei a következőkről adnak tájékoztatást: 1. A 9. ábra jól mutatja, hogy n = 66 mintaelem esetén, a nagy árvizek tartományában (A

1 >90%), adott valószínűséghez nagy szóródással rendelhető csak hozzá a megfelelő árvízszint és éppen ez indokolja a biztonsági tényező szükségességét. 2. A 10. ábrán látható, hogy a bizonytalanságot jellemző S szórás rohamosan növekszik, ha egyre nagyobb árvizeket vizsgálunk, de a mintaelemek számának növekedésével először gyorsan, majd 75—80 elem után lassabban csökken. 3. 11. ábrán azt az esetet mutatjuk be, amikor a tényleges n =66 mintaelem szám helyett n= 10 ós 100 között különböző értékekre kiszámítottuk a szükséges Ah biztonsági tényezőt. Ez tehát azt jelenti, hogy milyen többlet kiépítést kellene alkalmazni akkor, ha 10, 20, 30, 100 éves adatMintaelemek száma, n 10. ábra. Az indokolt többletbiztonság az észlelési időszak függvényében a Tisza polgári öblözete esetén