Hidrológiai Közlöny 1974 (54. évfolyam)
8. szám - Szőllősi-Nagy András: Optimális előrejelző-függvény meghatározása a Wiener-féle extrapoláció elmélet alkalmazásával
Szöllősi-Nagy A.: Optimális előrejelző-függvény Hidrológiai Közlöny 1974. 8. sz. 33Í) fi szerint differenciálva; a //. = 0 értéket helyettesítve, de 2(/, )i) dfi t=0 + U = -2 f £(T)<Pxv(T) dr + Ó U U J Äopt (R) J £(0)-?>„(T-0) d# dr + 0 0 u v f I(T) / (34) Figyelembe véve, hogy az autokovariancia-függvény páros [19], azaz a (34) összefüggésben az utolsó két tag megegyezik; tehát — a (32) formulának megfelelően — (34) így írható: u u 2 J £(t)Í J h op t(-»)<p x x(r-'9)dd-<p x y(r)\dr=0 o o ,„., (35) .Mivel a |(/) fizikailag megvalósítható súlyfüggvény — azaz pozitív időfüggvény — a (35) bal oldala csak akkor lehet nulla, ha a szögletes zárójelben álló kifejezés nulla, tehát ha u I /»opt(#)<Pzs(T — #)d 0 = (p Xy{ t) A fenti kifejezés a WIENER— HOPF integrálegyenlet [22, 34], amelynek megoldásával a h o pt(t) optimális előrejelző-függvény meghatározható. Megjegyezzük, hogy (30) csak a 0<í értékekre érvényes — ez következik a fizikai megvalósíthatóság feltételéből. A h 0pt(t) és x(t) ismeretében a megfelelő kimenet (10)-zel számítható, tehát az optimális előrejelzőfüggvény és a csapadék idősorának konvoluciójávai. Könnyen igazolható [27], hogy a szélsőérték minimum. A (33) második differenciálhányadosa: d 2e 2(í, n) r r -Ti^ 2 / I(I ) J S(»)<Pxx{r-»)d&dr (37) l/' 2 2r,*(t) 2.2 A WienerHopf egyenlet megoldása az időtartományban 2.2.1. Diszkrét megoldás A (36) egyenletet diszkrét alakba írva — figyelembe véve, hogy (p x x(i — s) — <p x x(s — i), tetszőleges i és s lépésre — kapjuk: « A , • * V , , ,A <pxy(i)= ^ h 0 pt(s)cp x x(i — s)As (39) (i= 0, 1, .. ., man — 1) ahol A a kovarianciafüggvények torzítatlan becslését jelöli. (A kovarianciafüggvények becslésére szolgáló összefüggéseket a [19]-ben közöltük.) Ha As értékét egységnyinek választjuk, és ha m jelenti a kovarianciafüggvények maximális lépésszámát, akkor (39) a következő mátrix egyenletbe írható: <Pxy = ^xxKvt, (40) ahol $xy(0) /íopt(0) (pxy = Cpxy(l) hopt = /'opt( 1 ) (m + 1,1) (M + 1,1) Jfxy{m)_ /fopt(w) (36) és az autokovariancia-mátrix: <t> x x = (m + l,u + l) fxx{ 0) Vxx(\) 9>«(1) Vxx(0) Vxx(2) $xx( 1) Txx(m) q x x(m-l] <pxx(u) <f xx(u - 1) <P*x(u- 2) (f x x{m - u) Vegyük figyelembe, hogy a jobboldali integrálkifejezós valamilyen |(í) súlyfüggvónyű rendszer rj(t) kimenetének nulla lépéses autokovarianciája: ll u ?„(0)= J I(T) J m<Pxx(r-»)d&dr (38) o u (38) bal oldala így írható: r ^(0)= lin^Y f V !(t)dt = ~^{tj o Mivel az rj-(t) négyzetes középérték sohasem negatív, a dVjjíT V) (41) Ha m = u, akkor a h o pt optimális súlyfüggvény vektor a szokásos mátrixinverziós eljárásokkal (40)ből meghatározható. Általában m^u, tehát (41) nemkvadratikus, azonban h 0 I,t mégis egyszerűen meghatározható. A (40) egyenletet balról megszorozva a (41) mátrix <l> r x transzpoltj&v&l : <1> X X (pxy = (ii + 1, m + l) (i/i + l, 1) <Pxx ®xx hopt (42) (« + l,m + l) (m + l,« + l) (tt + 1,1) \T A fenti kifejezésben a szorzat egy (M+ 1) X {u+ l)-es kvadratikus mátrix, amely már invertálható és az inverz mátrixszal ismét balról szorozva kapjuk, hogy hopt = (®L<l>xx)~ 1( (t }'L<pzv) («+1,1) (W+l,«+l) («+1,1) (43) második differenciálhányados pozitív, tehát az extrémum minimum. A (43) kifejezés konformábilis, tehát alkalmazásával h 0pt meghatározható. A -3. ábrában összefoglaltuk a Volterra- és a Wiener— Hopf integrálegyenletek közötti analógiát (a mátrixokat a kvadratikus esetnek megfelelően tüntettük fel).
