Hidrológiai Közlöny 1973 (53. évfolyam)

12. szám - Dr. Lucien Duckstein–William Metler–Dr. Bogárdi István: A tavak optimális vízszintszabályozása a hullámzás és vízlengés figyelembevételével

Dr. Luden, Duckstein, W. Metler, dr. Bogárdi 1

.: A tavak vízszint.... Hidrológiai Közlöny 1973. 12. sz. 537 g(t) = g(t-l) + h(t)—Q(t) Q*[g(t)~\ optimális szabályozási függvény Ö[í7(Ó] a szabályozási függvények sorozata /y[A(í)] a tiszta bozzáfolyás normál eloszlása. A fenti képletben az adott jelenlegi t helyzetre a közvetlen Z károk és a jövőben várható károk, F vannak összegezve az állapotváltozás valószínűségi függvénye szerint. Ezt a kár összeget minimalizáljuk a lehetséges döntések szempontjából, hogy kiadódjon a folyamatos optimalizálás révén a várható veszteség a kiindulási pontból. A modell megoldása végett a diszkrét alakban történő megfogalmazáshoz kell folyamodnunk, amelyet digitális számológépen oldhatunk meg. Jelölési okokból a célfüggvény folyamatos alakját kissé megváltoztattuk. Célszerű az állapotfüggvényben, kárfüggvényben, hozzáfolyás függvényben és a dinamikus vízállás függvényében 5 cm-es diszkrét lépésközöket felvenni. Úgy véljük, hogy további finomítás ebből a szempontból az eredmény pontosságát lényegesen nem befolyásolja. A g(t) állapotfüggvényt diszkretizáltuk az {»=1, 2,..., n{t)} állapotok sorába, ahol egyszerűség kedvéért az n(t) értékek megegyeznek minden egyes t-re. Továbbá a Q[g(t)] értéket átalakítjuk a{d = 0, 1, 2, 3, 4} döntések szerint, ahol pl. d= 2 a 10 cm havi vízeresztésnek megfelelő szabályozást jelenti. Tehát F[t,j,Q{t,j)} = = min Z{Z(i)+F[t + 1, Q(t+ 1, i)]}v[h(t, jfe)] de{d}k ' 5 cm ahol az indexek az alábbiak szerint definiálhatók: i=j-\-h(k) — d: a következő helyzet állapota j = 1, 2,..., n: a jelenlegi helyzet állapota k = l,2,...,m: tiszta hozzáfolyás a jelenlegi helyzetben /"max h(t) — min h(t)j W

=H —-J s[A(/)] = a h(t) becsült szórása t = N, N— 1 1: helyzet F[N +1, j, Q (N + 1 ,.?)] = 0 mindenegyes j-re Q(N + L, j) — — 1 mindenegyes j-re p[h(t, jfe)] h(t, k) = J fMx) dx h(t, k- 1 Ezután a havi átmenet valószínűségeket építjük be a kifejezésbe. 3.2. Egymástól függő hozzáfolyások modellje Ha az évszakos trendeket, vagy a száraz és nedves évek bizonyos mértékig szabályos váltakozását is tekintetbe vesszük, akkor az egyik hónapban bekövetkező vízszint változást, azaz a tiszta hozzáfolvást az előző hónapra vonatkozó érték feltételezése alapján kell figyelembe venni. Tehát pl. ha az április nedvesebb, mint általában, akkor abban az évben esélyünk van arra, hogy a május szintén nedvesebb lesz a szokottnál. A modell szempontjából ez azt jelenti, hogy az egy lépéses Markov átmenet valószínűségi felszint alkalmazhatjuk. A folytonos modell a következő: = min F{(t,g(t),Q*[g(-\) = J<Z[g(t)] + F{T-f 1, g(t+ 1), Q*[g{t+ 1)]} +C{t + 2, h(t), Q*[g(t + 2)], (/(<+!)} 'f

N[Ut)] dh(t) ) Ez a megfogalmazás szerint az előző modellben fellépő veszteségekhez hozzá kell adnunk a hozzáfolyás feltétele melletti veszteségeket. A fenti folytonos modellre vonatkozó diszkrét modell a következő: F[t,j-Q (<,.?)] = min Z(Z(i) + F{t+\), Q(t+1, i) + {EF[t + 2, a, Q(t + 2, i)]p[h(t+ 1, n| t, k)}}p[h{t, &,)]> id) ahol a — i + h(t+ 1, n \ t, k)-Q{t+ 2, k) max h(t+ 1 11) — min h(t+ 1 11) 5 cm U)] Megjegyezzük, hogy a C feltételes függvényt az F célfüggvény megfelelő értékének indexelésével lehet jelezni. 3.3 Algoritmus Az alábbiakban a stochasztikus dinamikus program megoldási lépéseit mutatjuk be. Az algoritmust az egymástól függő hozzáfolyás esetére alkalmazzuk, de könnyen módosítható arra a speciális esetre, amikor a havi hozzáfolvásokról feltételezzük, hogy függetlenek. 1. Felvesszük a haladási indexeket, célfüggvényt, a helyzettől függő döntési vektort és adatokat. 2. Keresztül haladunk az N számú helyzet időhorizontján. 3. Keresztül haladunk a jelenlegi helyzethez tartozó állapotok során. 4. Keresztül haladunk a döntések során. 5. Kiszámítjuk a felhalmozott várható veszteséget a lehetséges havi tiszta hozzáfolyásoknak megfelelően. 6. A várható feltételes veszteségeket összegezzük a lehetséges feltételes tiszta hozzáfolyások alapján adott jelenlegi tiszta hozzáfolyásra, a jelenlegi helyzetnek és állapotnak megfelelő döntéssel. (Megjegyezzük, hogv a 2—6. lépések az ún. FORTAN DO program csomagokban szerepelnek.) 7. Az 5. lépés befejezése után vizsgálat ennek a helyzetnek erre az állapotára, a. döntés minimalizálására. Ha elértük a minimumot, akkor folytatjuk a 3. lépéssel, egyébként a 4. lépéssel és befejezzük a keresést a minimalizáló döntés felé. 8. A 3. és 2. lépések befejezése. Független havi hozzáfolyások esetén a 6. lépés elhagyható. Meg kell jegyezni, hogy a számológép idő és költség legkisebbre szorítása végett a fenti algoritmust nem pontosan a leírt formában alkalmaztuk. Teljes alakjában azért mutattuk be, hogy a megoldás módszerét általánosságban is lássuk.