Hidrológiai Közlöny 1973 (53. évfolyam)
12. szám - Dégen Imre: A termelési függvény vízgazdálkodási alkalmazása
530 Hidrológiai Közlöny 1973. 12. sz. Dégen I.: A termelési függvény A népgazdasági szintű évi költséget az R(P, a)=a-Ä 1(a) + Ä 2(a)+Ä 3(P, a) + A' -R^P, a) + R B(P, a) . (28) kifejezés adja meg, ahol R X a vízszolgáltató rendszer beruházási költsége, R., a vízszolgáltató rendszer évi üzemköltsége, R 3 a ki nem elégített vízigények következtében jelentkező évi népgazdasági veszteségek, R. L vízpótló rendszer beruházási költsége, R s vízpótló rendszer évi üzemköltsége, a vízszolgáltató állóeszközök amortizációs együtthatója, a vízpótló állóeszközök amortizációs együtthatója. A termelési tényezők közül az R X és R 2 csak a kapacitás, míg az R 3, R V és R H a kapacitás és a vízszolgáltatás biztonságának a függvénye. Feladatunk az R(P, a) minimumának meghatározása. A feladat megoldására több módszer javasolható. 3.41 Folytonos modell. A (28) összefüggés szélsőértékének vizsgálata során az optimalizálástól független műszaki vagy gazdasági tényezők mérlegelésével a feladatban szereplő változók értelmezési tartománya lehatárolható. A vízszolgáltatás biztonsági szintjére egy P L alsó és P 2 felső határ írható elő, mivel sem aP=0, sem a/ 3=l biztonság megkövetelése gazdaságilag nem indokolt. A vízpótló és vízszolgáltató rendszer « kapacitását a műszaki lehetőségek szintén ésszerűen meghatározott korlátok közé szorítják. A P lehetséges értékeire írjuk elő a P 1 =s P =s P 2, az a lehetséges értékeire pedig az A =s a B intervallumokat (6. ábra). A feladat megoldásakor figyelembe kell venni, hogy az R(P, a) függvény a kérdéses minimumát vagy az értelmezési tartomány határán vagy annak belsejében veszi fel. 6. ábra. Az R (P, a.) költségfüggvény értelmezési tartományi Fig. fi. The range of interpretation of the cost function Ennek megfelelően a minimumot az éleken, a sarokpontokon és az értelmezési tartományban kell vizsgálni. A feladat megoldása az alábbi lépésekből áll: a) Megkeressük az R(P V a), R(P 2, a), R(P, A), R(P, B) most már egyváltozós függvények (élek) lokális szélső értékeit, azaz megoldjuk a 8 ~8a R(P V a) = 0 (29) —-Ä(P a,«) = 0 3a -±-r { P;A)=o -JL-R(P,B) = 0 egyenleteket, és kiválasztjuk e négy egyenlet megoldása közül azt, vagy azokat, amelyekre R(P, a) értéke minimális. b) Kikeressük az R(P l t A), R(P l t B), R(P,, A), R(P 2, B) értékek (sarok pontok) közül a legkisebbiket. c) Megoldjuk az R(P, a) függvény lokális szélsőértékfeladatát, vagyis differenciálhatósági feltételek teljesítése esetén megoldjuk 8 P 8 ~~8a~ • R(P, a) = 0 R(P, a) = 0 (30) egyenletrendszert. Az egyenletrendszer megoldásai közül választjuk ki ezután a minimális R(P, a) értéket szolgáltatót, vagy szolgáltatókat. d) Az a), b), c) lépésben nyert megoldások közül is ki kell választanunk azt, amelyre R(P, a) értéke a legkisebb. Az ehhez az értékhez tartozó paraméterek fogják az optimális paraméter értékeket szolgáltatni. 3.42 Diszkrét modell. A paraméterek értékeire vegyünk fel alternatívákat, amelyek közül, mint diszkrét értékek közül választjuk ki az optimálisát. Jelölje a 1 ( a,,. . . a„ ill. P V P 2. . ., P M az a, ill. P paraméter alternatív értékeit. Figyelembe véve, hogy a kérdéses példában öt változót vettünk fel (A'j, R.,, R 3, R V R 5), vezessük be a következő jelöléseket : A vízszolgáltató rendszerre vonatkozóan: RÍ=RT( X I) (k=\,2-,l^Un), (31) ugyanis két olyan változónk van, amely az a-tól függ. A vízpótló rendszerre vonatkozóan: RV =RK(PJ, aI) (k= 3, 4, 5; 1 *j*M), (32) mivel a (28) egyenletben három olyan változónk van, amely a P-től és a-tól függ. Adjuk meg a kérdéses függvényeket az alábbi táblázatos formában: A (31) függvényre vonatkozóan RT Rl Rt Itt 4=1,2
