Hidrológiai Közlöny 1973 (53. évfolyam)

9-10. szám - Kontur István–Szöllősi Nagy András: A kovariancia- és korrelációfüggvények elméletének és becslésének áttekintése

468 Hidrológiai Közlöny 1973. 9—10. sz. Kontur I.—Szőllősi Nagy A.: A kovariancia-, és korrelációf üggvény 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 OA t h 0,3 a 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3 4. ábra. A Tisza havi vízállás-maximumainak autokorreláció-függvénye Puc. 4. 0yHKifun-aemoKoppejiHi}uoHHaa MaKcuMa/ibHbix Mecnimix eopu30nmoe p. Tuca Abb. 4. Autokorrelationsfunktion der monatlichen Wasserstands-Maxima der Theiss 9xx(j) Tisza-Szolnok 1876-1970 N = 11iO hónap adataiból Ai évi menetgörbétől való eltérés autokorreláció függvénye autokorreláció füagvénue hanem ingadozik. Megfordítva ezt a gondolatmenetet; az autokovariancia-függvény nagy eltolási időkhöz tartozó viselkedéséből következtethetünk arra, hogy van-e az idősorban periódus. Kimondhatjuk tehát: ha nagy eltolási időkre az idősor autokovariancia-( korreláció) -függvénye ingadozik, akkor az idősor rendelkezik periodikus összetevővel [16]. Az autokovariancia-függvény ezen tulajdonsága ad lehetőséget a periódushosszak kimutatására, hiszen a periódushossznak megfelelő eltolási időnél a kovarianciafüggvénynek szélsőértéke van. A 4. ábrán példát mutatunk a Tisza havi vízállás maximumaiból alkotott idősor autokorrelációfüggvényére; az eredeti és a havi vízálláseltérések adatsoraiból számítva. Az ábrából jól kitűnik az éves periódusok jelenléte. 3. Kovariancia (korreláció) függvények becslése A hidrológiai idősorok általában mint észlelési adatok állnak rendelkezésünkre. A gyakorlatban szinte kivétel nélkül olyan idősorokkal foglalkozunk, amelyek azonos időközönként adottak pl. órás, napi, havi, éves felbontásban. Észlelési adataink véges időtartamúak és általában csak egyetlen realizáció áll rendelkezésünkre. A természeti jelenségek nem megismételhető kísérletek. Tehát a kovariancia (korreláció)-függvényeket a (9), ill. (15) összefüggések közvetlen alkalmazásával nem tudjuk számítani, azonban — a matematikai statisztikai alaptétele szerint — lehetőségünk van ezek becslésé re [13]. 3.1. Autokovariancia (autokorreláció)-függvények becslése Legyen az X(t) — általában nem nulla középértékű — idősor az X\, X<z . . . X

n diszkrét értékekkel megadva. Az idősort egy X\, ..., x

n nulla középértékű idősorba „transzformálhatjuk" Xi=Xi-Y (21) kifejezéssel, ahol (32

) Í=1 az eredeti idősor középértéke. Ha az idősor stacionárius, akkor az autokovariancia-függvény becsülhető a J n—j $mí)=--, 2 xi

x

i+j' ' i — 1 ; = 0, 1, 2, .. ..m^cn-l (33) kifejezéssel, ami a (9) diszkrét alakja és j lépéses autokovariancia függvénynek nevezzük. Egyszerűen igazolható, hogy a becslés torzításmentes [3]. (33)-ban j a lépésszámot (időeltolást) jelenti, m a maximális lépésköz. Ökölszabályként; ha m-et a mintanagyság harmadára — n/S-ra választjuk —, akkor a kovarianciafüggvény becslésében mutatkozó bizonyos instabilitások elkerülhetők -— ez a mintavételi tételhői is belátható [3] [6]. A (10) autokorreláció-függvény torzítatlan becslése : Q

x

x(j) = V"

® , j = 0,1, .. .,m^n- 1 (34) <fxx( 0) A (34) összefüggés alkalmazásával azt tapasztaljuk, hogy az autokorreláció-függvény egynél nagyobb értéket is felvesz — ami lehetetlen. Énnek az instabilitásnak oka az idősor stacionaritásának feltételezésében keresendő, hiszen a középértéket az egész idősorra állandónak tételeztük fel — függetlenül a mintanagyságtól. Más-más lépésszámhoz más-más nagyságú minta tartozik, általában mindegyik más-más középértékkel. Tehát, ha a különböző lépésszámokhoz tartozó különböző középértékeket tudjuk figyelembe venni, akkor bizonyos értelemben az idősor instacionarüását is tekintetbe vesszük. Vagyis a különböző ,,j" lépésekhez tartozó adatokat külön mintáknak tekintve,