Hidrológiai Közlöny 1973 (53. évfolyam)

1. szám - Domokos Miklós–Dr. Szász Domokos: Simuló vízhozam eloszlásfüggvények előállítása

4 Hidrológiai Közlöny 1973. 1. sz. Domokos M.—dr. Szász D.: Simuló vízhozam, eloszlásfüggvények határozott követelményeket

3 kielégítően — helyettesítheti a í) megfelelő komponensét, amit így jelölünk : a°'>(li, f«,. • • 0 = 1, 2 ,k). Hasonlóképpen — a becslés fogalmát általánosítva — beszélhetünk egy valószínűségi változó F(x) eloszlásfüggvényének valamilyen F

n(x; |

1( s2, • • • I«) függvénnyel való becsléséről is az egész számegyenesen olyan értelemben, hogy az F

n{x\ Ii, s2,. . . I«) majdnem minden x helyen a fenti meghatározott követelményeket kielégítő becslése az F(x) megfelelő ordinátájának. 2.22 Paraméterbecslési módszerek Valamely valószínűségi változó eloszlásfüggvénye ismeretlen paramétereinek becslésére a gyakorlatban két alapvető módszer terjedt el. a) A momentum-módszer lényege a következő: Legyen az ismeretlen eloszlásfüggvény F(x) = F (x; fii, $2, • • •#*)> a keresett paraméterek: -&

v #

2, Feltesszük, hogy a |((i=l, 2,. . . ,n) mintaelemekből számított első k tapasztalati momentum rendre egyenlő az F(x) elméleti eloszlásfüggvény megfelelő momentumaival, vagyis n — ^ lí= J xr dF(x; éi, fi

2, . . •, M, i— 1 — CO r = 1, 2, ...,k. E k tagú egyenletrendszert fii, . . . í^-ra megoldva, a keresett paraméterek becsléseit kapjuk. A momentum-módszer viszonylag könnyen kezelhető, mérnöki szemlélettel jól érzékelhető. Hátránya, hogy általában kicsi a hatásfoka: alkalmazása jelentős információ-veszteséggel jár [9]. b) A maximum likelihood (legnagyobb valószínűség) elvén alapuló paraméterbecslés alapgondolata vázlatosan a következő: Előírjuk, hogy a {li = = Xi, i= 1, 2,..., w} mintavételi eredmény a legnagyobb valószínűséggel az »-dimenziós térben éppen az (x

l

t X2, . . . ,x

n) pont környezetébe essék. E feltételből adódó egyenletrendszer megoldásai a •f)

l fiz, • • •, fik paraméterek becslései. Részletesebben: A minta elemei legyenek £

v |

2, ..., !„, amelyekről feltesszük, hogy függetlenek, azonos eloszlásúak, mondjuk f(x; $

3) sűrűségfüggvénnyel. (Itt fi

v fi

2, az eloszláscsalád három paramétere; ha más a paraméterek száma, a módszer hasonlóan alkalmazandó.) Az x

l

t x

2, ..., x

n változók együttes sűrűségfüggvénye a feltevések miatt /K; fi

v fi

2, #3) •••/(*« fi

2, fi

3) = n =]Jf(xi-, tii, K fi

3). i= 1 A módszer alapgondolata szerint vizsgáljuk az együttes sűrűségfüggvényt az x

x= x

n = 3 A becsléssel szemben általában a következő követelményeket támasztják [6], [8]: Legyen torzítatlan (vagy legalábbis aszimptotikusan torzítatlan); szórása legyen minél kisebb; legyen konzisztens és végül legyen elégséges, vagyis tartalmazza a mintaslemekből kivehető legtöbb információt. helyen, és keressük a paramétereknek azon értékeit, amelyek mellett az együttes sűrűségfüggvény az előbbi helyen maximális értéket vesz fel. Keresendő tehát n max JJf(^,fii,fi

2,fi

3). t = l Csak azokra a helyekre szorítkozva, amelyeken a sűrűségfüggvény pozitív, az előző probléma egyenértékű azon (fi

v fi

2, fi

3) pont megkeresésével, amelyre max L(fi

v fi

2, fi

3) = n =

ímax

j log [jJfUi-, fii, fi#3)] i=i teljesül. Ehhez a 8/(1 fii, fii, fis) _9L_

= y dfi

j = 9fii ^ /(!;; fii,fi2, fis) ' ' ' ' i=i egyenletrendszer v

l

t v

2

< v

3. gyökeit kell megkeresnünk. A legnagyobb valószínűség elve eléggé általános feltételek mellett is ,,jó" (aszimptotikusan konzisztens) becsléshez vezet [8], tehát általában hatékonyabb a momentum-módszernél [9]. Az 1. táblázatban feltüntetett három eloszlás-típushoz, paramétereiknek a megfelelő feltételeket kielégítő (|j, |

2, . . ., !„) mintából, mindkét fenti módszerrel történő becslésére szolgáló egyenleteket, ill. egyenletrendszereket is megadtuk. Látható, hogy a normális eloszlás esetében a két módszer ugyanazokat az explicit egyenleteket adja. A lognormális és a gamma-eloszlás esetében a maximum likelihood módszer implicit egyenletrendszert ad, amely implicit egyenletté redukálható ugyan, azonban a gyökök elhelyezkedéséről semmit sem tudunk s így az egyenlet csak iterációval oldható meg. A momentum-módszer a gamma-eloszlás esetében a mintából előre kiszámítható tapasztalati momentumokat tartalmazó explicit egyenletsorozatot ad [10], amely könnyen megoldható; ez esetben tehát a módszer kisebb szabatosságáért számítástechnikai előnyei kárpótolnak. Végül a momentum-módszer a lognormális eloszlás esetében olyan bonyolult egyenletrendszer megoldását kívánja, hogy ebben az esetben a momentum-módszer alkalmazása — sem szabatos, sem könnyen számolható nem lévén — nem látszik tanácsosnak. 2.23 Illeszkedésvizsgálat Vizsgálataink során — a II. IV. és V. feladat akármelyikét tekintjük is — ítéleteinket, döntéseinket mindig arra kell alapítanunk, hogy az (adottságként kezelt) tapasztalati eloszlásfüggvényhez két simuló eloszlásfüggvény közül melyik illeszkedik jobban: — a normális, a lognormális vagy a gamma-típusú-e (II. feladat), — a valamely önkényesen felvett paraméter ilyen vagy olyan értékéhez tartozó-e (IV. feladat), — a momentum vagy a maximum likelihood-módszerrel előállított-e (V. feladat). Az illeszkedés jóságát a matematikai statisztikában általánosan alkalmazott [8] — a legkisebb