Hidrológiai Közlöny 1973 (53. évfolyam)
9-10. szám - Kontur István–Szöllősi Nagy András: A kovariancia- és korrelációfüggvények elméletének és becslésének áttekintése
466 Hidrológiai Közlöny 1973. 9—10. sz. Kontur I.—Szőllősi Nagy A.: A kovariancia-, és korrelációf üggvény Az X{t) idősor korrelációfüggvénye definíciószerűen [13]: <p( T) (M[(X(Í) -x) 2]M[(X(Í + T) -~x) 2]}'/* (?) A korrelációfüggvény értelmezési tartománya — mint ismeretes — a [—1,1] zárt intervallum, tehát az idősor tulajdonságairól szemléletesebb képet kaphatunk a fenti torzítás bevezetésével, de a kovarianciafüggvénynél semmivel sem tartalmaz több információt. 2. Kovarianciaí'üggvények és tulajdonságaik A következőkben olyan stacionárius, ergodikus idősorokkal foglalkozunk, amelyeknek középértéke nullával egyenlő, azaz m = x = 0. Ez a feltétel nem megy az általánosság rovására, ui., ha x^O, akkor az észlelési adatokból a középértéket kivonva egy új, zérus középértékű adatsort kapunk: x(t) = X(t)-x. 2.1. Autokovariancia-függvény Az x{t) idősor autokovariancia-függvényét az x(t) •x{t-\-x) függvény középértéke definiálja, azaz cp x x( T) = E [x{t)x(t + T)] = M [x{t)x(t + T)] (8) vagyis egy realizáció esetén <Pxx(r) = x(t)x(t +T) = T (9) Oxx( T) = M[z 2(<)]=M|> 2(í + T)]:1 cpxx(r) <Pxx( r) Y<pxx(0)<pxx(0) <M0) (10) cp x x( T) = x(t)x(t +T) = X{& - T)x(p) = (eltolási időre) vonatkozó értéke az idősor négyze tes középértékével egyenlő: T <p x x{0) = ^{J)=\\m~ J x\t)át (12) o ami az előzőekből következik x = 0 helyettesítéssel. (iii) Az autokovariancia-függvény maximuma a nulla eltolási időnél van: ugyanis tehát: <Pxx{0)^\<Pxx(r) |, x\t) +x 2(t + r) + 2 x(t)x(t + r) ^0 (13) Az idősor autokorreláció-függvénye és figyelembe véve, hogy a stacionaritás miatt amely az adatsor egymástól t eltolási időre lépésközre levő elemei közötti kapcsolat szorosságát méri. A Qxxi^) a z adatsor önmagával való korreláltságát jelenti, ami természetesen egy. Az autokovariancia-függvény néhány tulajdonsága [6, 8] (2. ábra): Az időközépórtéket képezve — figyelembe véve, hogy x 2{t) = x 2(t + r) a stacionaritás miatt — ós kettővel osztva kapjuk: <Pxx(0) ± (pxx[T) ^0 amiből az állítás következik. Az előzőekből látható, hogy az autokorrelációfüggvény is páros; maximuma a nulla eltolási időnél van. 2.2. Keresztkovariancia -függvény Legyen x(t) és y(t) két stacionárius ergodikus idősor, akkor ezek keresztkovariancia-függvénye — (8)-hoz hasonlóan — az alábbi módon definiálható: fxy{r) = ~E[x(t)y(t + r)] = -M[X(%(Í+T)], (14) vagyis egy realizáció esetén: <Px V(r)=x(t)y(t-|-T) = 1 T f xWy( t+ r) d t ( 1 5) 0 Ha y(t) = x(t), akkor a keresztkovariancia-függvény „átmegy" az autokovariancia-függvénybe. A keresztkovariancia-függvény néhány tulajdonsága [3, 6]: (i) A (pzy(r) keresztkovariancia-függvény nem páros függvény, de az ordináta tengelyre nézve szimmetrikus a <p x y( x) függvényhez képest (3. ábra), azaz érvényes az alábbi indexcsere szabály : <Pxy{r) = cpy X{-x) (16) mivel <P*M{X) = x(t)y(t + T) = x(é - x)y(ö) = 2. ábra. Az autokovariancia-függvény tulajdonságaihoz Puc. 2. K ocoóeHHoemHM (pyHKijuu aemoKoeapuani}uu Abb. 2. Zu den Eigenschaften der Autokovarianzfunktion (i) A (p x x{r) autokovariancia-függvény páros függvény : <Pxx(r) = <Pxx(-t) (11) mivel = y(#)x(&-T) = cp y x(-T) ahol a t\-x = ft helyettesítést alkalmaztuk. — x(fi)x{i> — T) = <p Xi(— x) ahol a t-\-T = & helyettesítéssel éltünk; (ii) Az autokovariancia-függvény nulla lépésre 3. ábra. A keresztkovariancia-függvény tulajdonságaihoz Puc. 3. K ocoöeHHOcmHM tpymcquu rwnepemoü KoeapuaHtfuu Abb. 3. Zu den Eigenschaften der Kreuzkovarianzfunktion
