Hidrológiai Közlöny 1972 (52. évfolyam)

8. szám - Tóth A.: Javaslatok a turbulens diffúziós differenciálegyenletre

Tóth A.: Javaslatok a turbulens diffúziós differenciálegyenletre Hidrológiai Közlöny 1972. 8. sz. 349 2. ábra. DiJJci cnciahá,ty. tilos geometriai alapja Puc. 2. PeoMempuvecKan ocnoea uacmnoeo ducßtßepeiiifuii sodik differenciálhányados közelítésére kapjuk: Ck + l — Ck-l 9c dx 9

2c k 2 Ax ck+i-2ck+ck-i (Ax)

2 (6) (7) dx

2 (Lásd 2. ábrát). i>

(. A (2) egyenletből fejezzük ki -—t és helyettesítsük be a (6) és (7)-et. d

t dc CJT+I —2CJT + CI_I F'T+I — CK-I JZxW " 2Äx ' (8

) Ebből integrálással (és előjelcserével) kapjuk Cl.--ra: D Ck J (c

k+i-2c

k + c

k_i)dt+ (Ax.y+ 2/ (

c*1rf

c+

1)

d/

1 (0) ,3. ábrát). A 3. ábráti adtuk meg a közvetlen számítógépi programot. x

h helyen adható be az impulzus és x

k I hVn) (Ok*,) helyeken regisztrálható a koncentrációváltozás. Természetesen minél hosszabb láncolatot készítünk, a valóságot annál jobban megközelíthetjük. .Mivel a koncentráció hullámok fokozatosan ellaposodnak, a kezdettől nagy távolságra a legnagyobb indexű (ábránk szerint c

k

+% és — c*

+

3) pontok nagyobb értékű ellenálláson keresztül leföldel bet ők. Mivel minden egyes lépcső 3 db összeadó műveleti erősítőt (2") 1 db invertáló műveleti erősítőt (— p) 1 db integráló műveleti erősítőt (J) 3 db szorzó potenciométert (0) tartalmaz, a Folyamatszabályozási Tanszék számítógépkapacitása nem volt a futtatáshoz elegendő. A digitális számítógépi megoldás ezt sajnálatos módon nem helyettesítette megfelelőképpen, mivel a szorzópotenciométereken módunkban áll az u sebesség és a D diffúziós együttható helyi változásait is programozni, ami a digitális gépen nem lehetséges. A csekély gépi kapacitáshoz való alkalmazkodás érdekében dr. Nagy Lajos programjánál egyszerűbbet kellett keresni, megtartva az analóg modell előzőkben vázolt előnyeit. Erre a (8) differenciálegyenlet átalakítása nyújt lehetőséget [3]. Alakítsuk át először a (6) egyenletet: 9c dx Ck+l-Ck-l Ck 2 Ax 2 .Ar 2 Ax Ck+\—Ck 2Ax Majd a (7) egyenletet : Ck-l — Ck 2 Ax (6a) 9

2

c ^ Ck+i- 2ck + Ck-\ l)^

2 k

% (Ax)

2~ + Ck-l—Ck Ck+l — Ck (Ax)

2 (Ax)

2 (7a) Ha fentieket a (2) egyenletbe helyettesítjük és dc kifejezzük —-t, kapjuk, hogy 9c 9V D Ax)

2 u {Ck D ft

)!w (Ck-\ - Ck) • 2 Ax (Ct+

1Cfc) + Majd összevonások után: u 2 Ax (Ck-\-C

k) (10) 9c L -C*)[+ (Ck-\-Ck Vezessük be a D 1) u (Ax)

2 2 Ax. D u i (Ax)

2 2 Ax] u (8a) (Ax)

2 n ~

+2Ax = ß jelöléseket ß j (e*+i-et)dí+a J (ck-i — Ck) dt. (9a) (Ax)

2 2 Ax Integrálás után kapjuk: C

k 3. ábra. Dr. AW/!/ Lajos univerzális analóg számítógépi programja Puc. 3. yiiueepcajibiiaH anaAoeonan npoepaMMa 0-p Haób, Jl. A (10) egyenletet más módon is összevonhatjuk: 9c — ^ck+i.ß-ck(x + ß) + c

k-i-x, (8b) ahol * + =