Hidrológiai Közlöny 1972 (52. évfolyam)
8. szám - Tóth A.: Javaslatok a turbulens diffúziós differenciálegyenletre
347 Hidrológiai Közlöny 1972. 4—5. sz. Javaslatok a turbulens diffúziós differenciálegyenlet analóg modellezésére T Ő T H ANDRÁS' Jelmagyarázat c koncentráció, t idő, u, v, w sebességkomponensek, x, y, z térkoordináták (ilyen irányúak a sebességkomponensek), Dfx, Dty, Diz x, y, z irányú turbulens diffúziós komponensek, Rck k csomópontbeli kondenzátor kapacitív ellenállása, 3 V~, (o 2>i ti, n frekvencia, Gk a k csomópontbeli kondenzátor kapacitása, Vic feszültség a k csomópontban, Rk k csomópontot megelőző ellenállás. 1. A turbulens diffúzió szerepe a vízépítésben A turbulens diffúzió vizsgálata nagv jelentőségű mind tavakba, folyókba, csővezetékekbe bevezetett szennyezések szempontjából, mind pedig a különféle hidraulikai és hidrometriai mérésekkel kapcsolatban. Valójában a mérőfolyadék (só, káliumpermanganát) diffundál a sózásos mérésekkor, és az átfolyási vizsgálatok során. Az élő vizeken és a laboratóriumokban, valamint a víz és szennyvíztechnológiai műtárgyakon végzett mérések megmutatják az elért diffúziós-hidraulikai körülményeket, de alig közölnek valamit az elért hatásfokról. Ezért nem is ösztönöznek optimális hidraulikai kialakításra. Célunk a következőkben az, hogy matematikai modellek segítségével szimuláljuk a folyókban, műtárgyakban lezajló diffúziós jelenséget, és a modellkísérlet! eredményeket egybevetve a főkivitelben lefolytatott diffúziós ill. átfolyási vizsgálattal világos útmutatást kapjunk, hogy mely pontokon kell beavatkoznunk, hogy az ideális matematikai megoldáshoz közelebb vigyük a természetben ill. a műtárgyban lezajló folyamatot. E cél érdekében először ismertetjük a probléma folyamatszabályozási alapon végrehajtott digitális számítógépi megoldását, és a kapott impulzuslevonulási ábrákat. Ez a megoldás nem alkalmas változó paraméterek (keresztmetszet, sebesség, diffúziós együttható) figyelembevételére. Ezért bemutatjuk az analóg számítógépi modellt, melyet azonban számítógépkapacitás hiányában nem lehetett alkalmazni — bár elvileg figyelembe képes venni a változó paramétereket. A megoldás felé vezető egyik út az analóg program átalakításával és egyszerűsítésével elért jelentős analóg számítógépi elem-megtakarítás volt. melynek során a csomópontonként szükséges 5 műveleti erősítőt l-re lehetett redukálni. A másik megoldásra a passzív elemekből felépített analóg modell olyirányú továbbfejlesztése vezetett, melyben a szakirodalmi adatokhoz képest újszerű — már a kon* Vízgazdálkodási Tudományos Kutató Intézet , Budapest. vekciós tagot is figyelembevevő kapcsolás született, melyben az ellenállások és kondenzátorok értéke csomópontról csomópontra geometriai haladvány szerint változik, ugyanakkor időállandójuk konstans. A csomópontok végteleti mértékű sűrítésével vezetőpapírból kiképzett modellhez jutottunk, ennek levezettük leíró egyenletét. A tárgyalás során rámutattunk a változó paraméterek figyelembevételére mindegyik modell típusnál, végül a gyakorlati alkalmazásbavétel lépéseit vázoljuk. 2. A turbulens diffúzió differenciálegyenlete Vizsgálatunk közelebbi tárgya az összenyomhatatlan folyadék turbulens konvekciós differenciálegyenlete, melynek térbeli alakja [1]: dc de _ 3c dc 31 dx 3 y dz _3_ dx (-S) (1) A felülvonás arra utal, hogy időbeli átlagértékkel dolgozunk. Ezt a jelölést a továbbiakban mellőzzük. Vizsgálatunkban az (1) egyenlet 1 dimenzióra redukált változatát dolgozzuk fel. Ez ugyan nagyfokú közelítés, azonban különösen olyan vizsgálati objektumokban, melyeknél a hosszúsághoz képest a keresztirányú kiterjedés kicsi (pl. folyóknál) — ez megengedhető. Az egydimenziós egyenlet feltételezve, hogy az u sebesség és Dtx állandó, következőképp írható fel: dc dc „ d 2C 3t dx dx;?. Digitális számítógépi megoldás (2) A Budapesti Műszaki Egyetem Folyamatszabályozási Tanszékén Ladányi Gábor tanársegéd* digitális számítógép programot állított elő a (2) egyenlet megoldására. A vizsgált szakaszt (pl. folyószakaszt) szabályozástechnikai alapon szemlélte. Eszerint a feladat így hangzik [2]: S,b (t) bemenőjelre milyen (t) kimenőjelet kapunk a vizsgált ponton (a bemeneti ponttól számított 1, 2, 3. . . 10 km távolságban)? Mint a lineáris szabályozási rendszerek matematikai elméletéből ismeretes egységimpulzus függvény bemenőjel [<5(<)J súlyfüggvényt [ ry()J, egységugrás bemenőjel [1 (<)] pedig átmeneti függvényt [»'(<)] eredményez a kimeneten. Az átmeneti függvény a rendszert leíró differenciálegyenlet megoldása. Leszármaztatható a súlyfügg vény bői, mivel a súlyfüggvény az átmeneti függvény idő szerinti első deriváltja: A bemenőjelet leíró függvényábrát elemi A t szélességű és £ 6(T) magasságú négvszögimpulzu* VITUKI megbízás alapján
