Hidrológiai Közlöny 1971 (51. évfolyam)
2. szám - Dr. Nagy Lajos: Rugalmas nyomáshullámok elektromos modellezése elágazó csővezetékek esetében
Dr. Nagy L.: Rugalmas nyomáshullámok modellezése Hidrológiai Közlöny 1971. 2. sz. 75 5 M — 1 » 3iü , v+w"* dx dx dt' „ Tx= 0u+ CTf Ha a (16) és a (17) alatti egyenleteket O-ra redukált alakban írjuk fel: 3u „,. r di — + Ri + L — = 0, OX dt di „ ,, 'ólt — + Ou+C—=0, dx dt (18) (19) ö. ábra. Az elektromos távvezeték egy elemi szakasza Puc. 5. SjieMenmapiibiü ytacmoK sAeicmpmecKOü Mimin nepedai Abb. 5. Elementare Strecke der elektrischen Fernleitung zeték esetében, ha a vezetékben áramló folyadék összenyomhatatlan (kontinuitás elve). * Az itt előreboesátott elektrofizikai ismeretek rekapitulációja után nekiláthatunk a folytonosan eloszlott önindukciót, kapacitást, ohmos ellenállást és átvezetést (admittancia) tartalmazó elektromos távvezeték differenciálegyenlet-rendszerének felállításához. 5 Egy ily távvezetéket az 5. ábra tüntet fel. Tekintsük ezen távvezeték egy dx hosszúságú elemi darabját. Ha a vezeték hosszegységére eső összindukciót L-lel, a hosszegységre eső kapacitást C-vel, a hosszegységre eső ohmos ellenállást /v-rel és a hosszegységre eső átvezetést G-vel jelöljük, úgy a d.r hosszelemre eső kapacitás összindukció, ellenállás és átvezetés rendre: L dx, C dx, R da;, illetve G dx. A 6. ábrán látható módon ezeket megfelelő kapcsolási elemekkel: tekercsekkel, kondenzátorokkal, ellenállásokkal és mellékzárlatokat létesítő ellenállásokkal tüntetjük fel (ezen utóbbi ágak ellenállásának a reciprok értéke képezi az átvezetést, vagyis az admittanciát). Ez a helyettesítő kapcsolás lehetővé teszi, hogy a folytonos paraméterekkel jellemzett távvezetékre az áramkörök Kirchhoff-féle törvényeit alkalmazzuk. A fenti kapcsolási elemek végpontjai között fennálló feszültségekre, illetőleg a rajtuk áthaladó áramerősségekre felírt összefüggések szolgáltatják a távvezeték differenciálegyenleteit, melyek így a következők : dw ..• r 8® - —=Ui + L — , (16) Gí1x 6. ábra. Helyettesítő kapcsolás az elektromos távvezeték egy elemi áramkörökből felépülő szakaszához Puc. 6. 3aMenmoufee etíjiwnenue k ynacmuy JI9Í1, noempoCHHOMy ii3 3.ie.\tenmapiibix jiimufí mona Abb. 6. Ersatzschaltung zu einer auf elementarem Stromkreis aufbauenden Strecke der elektrischen Fernleitung törvényt, illetőleg a (15) alatti csomópont-törvényt. Mindezek előrebocsátása után rátérhetünk problémánk differenciálegyenlet-rendszerének megoldására. Adjuk meg evégből az u és az i függőváltozásokra nézve a megoldást a következő exponenciális alakban (ahol j=\:—1 fiz imaginarius egység) :« u = u(x, t) = = Ufpif • ei<°' = Uei m t (20) i = i( x, i) = 7 0e J'( Mf +v) = 7 0e«'.e^' = Te* 0' (21) ahol U és I ún. komplex-amplitúdók, melyek a V u és az 7 0 valós amplitúdóértéken kívül a tp, illetve a XI J fázisszöget is tartalmazzák. Az u és az i megoldásoknak a (16) és (17) alatti egyenletekbe való behelyettesítésével a következő összefüggéseket kapjuk: dU dx = (7? +jcoL)I—Rí, dl dx (G+jcoC)U, ahol R = R+jcoL a komplex ellenállás. A (22) alatti egyenletből: ' R dU dx (23) (23*) Differenciáljuk most a (22) alatti egyenlet mindkét oldalát x szerint és a jobb oldalon így nyert dl helyett tegyük be ennek (23) alatti kifejezését dx (17) a negatív előjel tekintet bevételével: ~^=(R+jcoL)(G+jcoC)U = yHJ, (24) azonnal felismerjük bennük a (14) alatti hurok5 Az általánosság kedvéért itt a „telegráfegyenlet" felállításánál használt hagyományos eljárást követve a/, ohmikus ellenállást és az átvezetési, is tekintetbe vcszsziik. A terjedési együtthatót és a hullámellenállást, és a visszaverődési tényezőt definiáló kifejezések így R-t és G-t is tartalmazzák. Ezeket a hidraulikus rendszerrel való teljes egyezés céljából utólag 0-val tesszük egyenlővé. ahol y = ][(R+jcoL) (G+jcoC) a terjedési együttható. Ha ezt a kifejezést /i-rel elosztjuk, a következő hányadost kapjuk: ^JJ_R+jcoL)(G+jcoC) R R + jcoL G+j(oC~ ' (R+jcoL)(G+jtoC) (R+jcoLy M í í R +jcoL yf R+ju L . Z ' [ G+jwC =-=• (24') 6 A komplex mennyiségeket, a következőkben a betű fölé húzott vízszintes vonallal különböztetjük meg a valós mennyiségektől.
