Hidrológiai Közlöny 1971 (51. évfolyam)
12. szám - Dr. Vágás István: Árvízvédekezési döntéseink játék-elméleti alapjairól
558 Hidrológiai Közlöny 1971. 12. sz. Dr. Vágás I.: Árvízvédelmi döntéseink játék-elmélete esetén — amikor a játékosoknak egyértelműen kell dönteniük valamelyik „lépési" változat felett — általánosságban nem biztosítható. Az ilyen játékban mindkét játékos nem lehet egyidejűleg „okos" [4], Az (5) egyenletbeli egyenlőség matematikailag csak akkor kényszeríthető ki, ha bármelyik lehetséges lépés csupán £ v | 2. . . £«., ill. rj v >}.,. . .rj m valószínűséggel (Í7f= 1; Sr]= 1) várható, így ún. ,,kevert stratégiát" alkalmazunk. (V. ö.: 1 lábj.) A játék értéke ebben az esetben: n m M= £ 2 o( x>y)-£*-vy= = 9(1. l)-ti'Vi+9(l> + -f ... + g(n, m)- l,rr)m (6) A játék „igazságos", ha M = 0, vagyis, ha a nyerési lehetőségek összessége egyik félnek sem kedvez. A továbbiakban az igazságos játék kritériumát, mint határhelyzetet vesszük figyelembe, bár — amint látni fogjuk — a természettel folytatott játék önmagában, kiegészítő műszaki feltételek biztosítása nélkül az árvízvédekező mérnök szempontjából sokszorosan hátrányos, így „igazságtalan" lehet, viszont a részletezendő műszaki feltételek biztosítása után az ezt tükröző matematikai feltételek útján a természet számára tehetjük a játékot tetszőlegesen hátrányossá. A természettel szemben vesztesként nem kerülhetünk ki, a természet erőit súlyos kockázat vállalása nélkül nem tekinthetjük magunkkal egyenrangú „játszótárs"nak. A játékelmélet további részleteivel kapcsolatosan a szakirodalomra utalunk [1, 3, 4J. Az árvízvédekezés és az előrejelzés valószínűségi függvényeinek kapcsolatai Az árvízvédekezés felkészülésének mértéke és az előrejelzett vízállások között nincs közvetlen kapcsolat addig, ameddig a töltések, vagy magaspartok koronaszint-magasságra visszavezethető védőképességét a bekövetkezhető vízállások nem veszélyeztetik. Amint azonban a védőképességet elérő, vagy meghaladó vízszintek fenyegetnek, a védekezést a várható vízállásoktól függően kell megszerveznünk. Ebben az esetben az r és | függvényeket a ]) és rj függvények alakulásával összefüggésben kell meghatároznunk. Nyilvánvaló, hogy csupán a h mi n vízállásra történő teljes biztonságú védekezés katasztrófát kockáztatna, a /imax-ra, vagy az azt megközelítő vízállásokra pedig vagy nem szükséges, vagy a védekezés közben is megfontolható a teljes biztonságú felkészülés. Mindenképpen célszerű azonban az előrejelzett vízállások „vál ható" értékére számítanunk. Igv rögzíthetjük: ]. Az árvízvédekezésnek teljes biztonsággal kell felkészülnie legalább az előrejelzett vízállások „várható" értékének, /i^-nak fogadására. [Ha esetleg hmP*Ku úgy e helyett A m-re.] Eszerint: h v, mi n= h á. 2. Az árvízvédekezésnek a /í^S/tS/f,,, ma x vízállások kivédésére legalább olyan valószínűséggel kell felkészülnie, mint amilyen az illető li vízállás előrejelzési valószínűsége. Ha a felsoroltaknál nem támasztunk magasabb igényt, úgy: r(h s hó) = 1 és r(h<h á)=p(h) (8) Ugyanez a sűrűségfüggvényeknél (A^-nak jelölve a ha-1 tartalmazó, és azt helyettesítő számköz középértékét) : í[(/»dt---f)—^= = Zrj(h k == h á A) + 75(70 (9) Szavakba foglalva: Két adott feltételünk szerint a védekezési valószínűség eloszlásfüggvénye az előrejelzési valószínűség eloszlás várható értékénél és annál kisebbeknél egységnyi értékű, egyebekben pedig annyi, mint az előrejelzési valószínűség eloszlási függvény értéke. A védekezési sűrűségfüggvény így a várható érték számközének alsó határánál kisebb vízállásoknál zérus értékű, a várható értéket tartalmazó számközben az ottani és a nála kisebb vízállási számközöket jellemző előrejelzési sűrűségfüggvény-értékek összege; a várható érték számközének felső határánál nagyobb vízállásoknál pedig annyi, mint az előrejelzési sűrűségfüggvény értéke. A h&-nak /f m-mel megengedett helyettesíthetősége miatt mindig elérhető, hogy a | függvény histogrammja a 7í«-t, ill. 7i m-et tartalmazó és a s függvény maximumával rendelkező számköztől kezdve li k növekedése mellett csökkenő irányzatú legyen (2. ábra). A későbbiekben olyan védekezési függvényekkel is foglalkozunk, amelyeknél a védekezés valószínűség-értékét az itt ismertetett két alapfeltételünkből következőknél magasabbra választjuk. Az árvízvédekezés sikerének feltételei az előrejelzés és felkészülés különböző változatainál a) Minden magassági túlbiztosítást kerülő, gyengén informált védelemvezetés esélyei Kiindulási esetként képzeljük, hogy az árvízvédekezés nem tud többet az árhullámról, mint azt, hogy bekövetkezik és meglehetősen sok tetőzési változat adódhat, feltehetően egyenletes valószínűség-sűrűség mellett. Minthogy a „túlbiztosítást" is kerüljük, nem értelmezünk „várható" értéket és a szóbajöhető tetőzésekre is egyenlő valószínűséggel készülünk fel. Állítsuk össze a játék-elméleti mátrixot, úgy, hogy az árvízvédekező (SÍ játékos) szempontjából értett ,,nyereség"-eket jelöljük + 1-gyel, a „veszteség"-eket pedig —1-gyel. Az értékekre vonatkozóan itt nem is kell más megfontolást érvényesítenünk, ha megelégszünk azzal, hogy az árvízi katasztrófa bekövetkezését minden fokozatosság nélkül egyszerűen csak „elkerülendő lehetőség" gyanánt értékeljük és a számításba kerülő vízállások között nem teszünk értékelési különbséget. Kétségtelen, hogy itt közgazdasági megfontolásoknak is tág terük nyílhatna, ez azonban túllépné tanul-
