Hidrológiai Közlöny 1970 (50. évfolyam)

2. szám - Déri József: Sztochasztikus program a biztonsági vízkészlet meghatározására

Déri J.: Sztochasztikus program Hidrológiai Közlöny 1970. 2. sz. 79: tpdö] 1. ábra. A vízkészlet (Q)és a vízigény (I), mint valószínűségi változó Ahb. 1. Der Wasservorrat (Q) und der Wasserbedarf (I) als stochastische Veránderliche 2.1. A vízhasználó célfüggvénye és minimálása Jelölje a vizsgált T időszakban c

1 a vízhasználó által feleslegesen (tározott, ill.) lekötött biztonsági vízkészlet egységnyi mennyiségére jutó költséget és c

2 a hiányzó víz egységére jutó költséget. Az első esetben, amikor a biztonsági vízkészlet túlságosan nagy (i2>7'—I), a költség c

1 [R—(/'—/)]. A második esetben, amikor vízhiány lép fel (R<'I'—I), a költség c

2 [(/'—7)—R\ lesz. Az összes költség pedig a következő: K=A + c

r [«—(/'—/)] + c

2 • [(/'—/)—K\, ahol A a (tározott) biztonsági vízkészlettől független üzemi költségeket, míg 1' a vízigény várható értékének megfelelően lekötött vízkészletet jelenti. A számítások egyszerűsítése érdekében új valószínűségi változót [ 13] vezetünk be: ?/=(/'—7), amely a vízkészletfelesleget vagy a vízhiányt jelenti. A vízhasználó üzemi költségének várható értéke M (K) a valószínűségszámítás ismert tétele értelmében a következőképpen számítható ki: M( K)=M[A + c^It—U) + c

2( U—R)}R M{K) = A + c

1 J (R-U)f(U)áU + + °° + c

2 f (U-R)í(U)dU. Kérdés, hogy M(K) célfüggvény milyen esetben éri el a minimumot? Az egyenlet jobb oldalának első tagja (A) nem függ R-tői, ezért a költségminimum és R optimális értékének meghatározása érdekében elég a kifejezés két utolsó tagját vizsgálni, amelyeknek várható értékét 1 jelöljük. így felírható, hogy ii M(K

1) = c

1 j' (R — U) i(U) dU + + •» + c

2 J (U —R) f(U) dU = min. R A várható érték két tagból áll: az első annak az esetnek felel meg, amikor U < R, a második, amikor U 11. A feladat olyan R tartalék megállapítás, amelynél M(K

X) minimumot ér el, vagyis + p

2~öiT / (U-Z)mdU = o> (1) R Megfelelő átalakítás után R J (R-U)f(U)dü + ~ ci f (U-R)í(U)dU R A (2) egyenletben szereplő integráloknak meghatározott gazdasági értelme van. A számlálóban szereplő integrál a vízkészletfelesleg várható értéke. A várható érték differenciálhányadosát várható határfeleslegnek nevezzük, míg a nevezőben szereplő integrál a vízhiány várható értéke. Ez utóbbi integrálnak a differenciálhányadosát várható határhiánynak nevezzük. A (2) egyenletet tehát a következőképpen értelmezhetjük: a tározott vízkészlet akkor optimális, ha a várható határfelesleg és a határhiány fordítottan arányos a felesleg és a hiány egységnyi mennyiségére vonatkoztatott költséggel CM Az itt szereplő várható határérték fogalmát P. Massé vezette be [5]. A különböző típusú (ipari, mezőgazdasági stb.) vízhasználók számára megrendelendő (tározandó) optimális biztonsági vízkészlet meghatározása érdekében átalakítjuk a (2) egyenletet. A bal oldal számlálójára felírható, hogv R R f (

Rü)

{(

U)

d

U = f f(U)dU. (3) Hasonló módon alakíthatjuk a nevezőt: + oo +oo J (U-R)í(U)dU=- f f(U)dU (4)