Hidrológiai Közlöny 1970 (50. évfolyam)

9. szám - Dr. Vágás István: Önszabályozó átfolyásos rendszer-láncolatok valószínűségi jellemzée

412 Hidrológiai Közlöny 1970. 9. sz. Dr. Vágás I.: Önszabályozó átfolyásos rendszer-láncolatok vények differenciál-függvényei, tehát (3. ábra): Pi,o(«) =ő(t) PÍ.I(0 = -f-Po(0 tá 1 P*.2(t) = T pi(0 Tá Iá (42) Ezekből — a (9) egyenletek felhasználásával könnyen képezhető a tá •pá.k(í) = pa, k—i(t) - Pa, k(<) (43) összefüggés, amely egyenértékű a (25/c)-vel és (41)-gyel, amely számításunk helyességét más oldalról is igazolja. A vízállástól lineárisan függő válaszfüggvény esetén létrejövő átfolyásos rendszerek láncolatának legfőbb jellemzőit az alábbiakban összegezhetjük : 1. A kezdeti ráhatásként alkalmazott egységugrás válaszfüggvénye a láncolt elemi rendszerek számánál eggyel kisebb rendszámú, íá-val osztott Poisson-integrálfüggvény; vagy ami ugyanazt jelenti : a nullától a láncolt elemi rendszerek eggyel kisebbített sorszámáig terjedő rendszámú Poissonfüggvények összegét egységre kiegészítő függvény (2. ábra). 2. Egységimpulzus kezdeti ráhatás válaszfüggvénye : a láncolt elemi rendszerek számánál eggyel kisebb rendszámú, í^-val osztott Poisson-függvény (3. ábra). A vízállástól lineárisan függő válaszfüggvény szerinti átfolyás, mint a vízrészecskék tömegének véletlen jellegű, vonal menti bolyongása Az átfolyás jellegére vonatkozó előzetes megállapításaink végeredményeiket tekintve már valószínűségiek voltak ; levezetéseink azonban még hidraulikai megalapozást kaptak. Ez így is volt szükséges, hiszen a hidraulikai jelenségek valószínűség-elméleti kapcsolatait másképp nem vezethettük volna be. A továbbiakban az átfolyást, illetve az átfolyásos rendszerek láncolatát eredetileg is tömegjelenségnek fogjuk fel, így valószínűségi megállapításainkat közvetlenül alapozhatjuk meg. Alapfeltételünk tehát az, hogy az átfolyó vízrészecskék összességének viselkedését nagyszámú, apró, véletlenszerű hatás eredőjének tekintjük. Legyen valószínűségi rendszerünk „emlékezet nélküli", azaz a vizsgálatra kerülő átfolyási jelenséget egy részében se befolyásolja a folyamat múltja. Valamely idealizált elem véletlen, vonal menti bolyongása [1] olyan lépések sorozata, amelyeken belül a szóban forgó bolyongó elem adott valószínűséggel (Uj) tehet egységnyi elmozdulást a pozitív irányba, adott valószínűséggel (w

2) maradhat helyben, és adott valószínűséggel (u

3) tehet egységnyi elmozdulást a negatív irányba. E három lehetőségen kívül más nem lehet, így: m

1 + ÍÍ

2 + M

3=Í (44) A bolyongó elem n lépés megtétele után az a> tengely vonal bármely (—ri)<,k<,( + n) feltételnek megfelelő egész számmal jellemezhető x=k abszcisszájú pontjában tartózkodhat, az előfeltételként előírt u valószínűségi értékektől függő Vn.k valószínűséggel. Ha a bolyongás lépései egyenlő, és megfelelően kicsiny időközii alkalmanként kerülnek megtételre, az n lépésszám helyett használhatjuk a t idő-változót, s ezzel a jelöléssel p

k(í)-vel adhatjuk meg annak valószínűségét, hogy a bolyongó elem a t időpontban éppen az x=k pontban tartózkodik. Tekintsük a bolyongási tengelyvonal pontjainak a láncolatba kapcsolt átfolyásos medencék egységeit, sorszámuknak megfelelően. Ez a bolyongási tengelyvonal csak a zérus és a pozitív sorszámozású pontokat tartalmazhatja. [A zérus sorszám a kezdeti ráhatás jellemzésére van fenntartva. ] Bolyongási elem az átfolyásban résztvevő vízrészecskék bármelyike lehet, a bolyongási részfolyamatok eredője pedig a vízrészecskék összességének az adott időben és adott sorszámú láncolati medencében való tartózkodásának a vízállással, vagy az ezzel arányos kifolyási vízhozammal kifejezett valószínűségi mértéke. A jelenség természetéből következik, hogy a bolyongás adott esetében a negatív irányú lépés kizárt, tehát u

3=0, hiszen a magasabb sorszámú medencéből az alacsonyabb sorszámúba visszafolyás nem lehetséges. Pozitív irányú lépés és helyben maradás viszont egyaránt lehetséges, hiszen nemcsak vízkifolyás, hanem a medencében történő víztárolódás is folyamatosan kialakul. Az emlékezet nélküli rendszerben a lépés valószínűsége csupán az éppen vizsgált t időpontot követő At-tői függhet. Bevezethetjük még viszonyítási alapként a régebben is használt tá értéket is az általánosság sérelme nélkül. Az egyedül megengedett pozitív lépésirány követése annál valószínűbb, minél hosszabb a át időtartam a /4-hoz képest. Emiatt: A

t - 1 A

t - ,AK\ — —— es u

2=l — — (45) tá tá Annak valószínűsége, hogy a bolyongó elem a t + At időpontban az x=k helyen tartózkodjék, meghatározható az u

x és u

2 valószínűségekkel, jellemezve a t időpontban egyaránt megtörténhetett, az x—k—1 pontból az x=k abszcisszájú pontba való lépés esetét, illetve az x=k pontbeli helyben maradást: Pk(< + At) = u

v pk-j(í) + «

2 • p

k(0 = At ,, An ,

s (46) Vonjunk ki a (46) egyenlet mindkét oldalából \í

k(t)-t, majd osszunk mind a két oldalon At-ve\. Ha At —> 0 és így határátmenetre térhetünk: — /

U r —=pk(0=y • [pk-i(<) - pk(01 (4 /)