Hidrológiai Közlöny 1969 (49. évfolyam)

3. szám - Szalay Miklós: A lamináris folyadékmozgás sebességeloszlásának relaxációs számítási módszerei

Szalay M.: A lamináris folyadékmozgás Hidrológiai Közlöny 1969. 3. sz. 105 értéket nyertünk. Ez a számítási pontatlanságokon túlmenően ismét a szelvény határvonalának részben konkáv mivoltára vezethető vissza. Összefoglalás Noha a jelen tanulmányban ismertetett új analógia-módszer és az abból levezethető eredmények nem jelentik közvetlen gyakorlati problémák megoldását —- hiszen nyílt medrekben lamináris vízmozgás nem fordul elő —, mégis, mint közbülső lépés, utat nyitnak a turbulens mozgás vizsgálatának új irányból való megközelítése felé. Ez alkalommal nyilvánítom köszönetemet a khartoumi egyetem tanácsának a kutatáshoz nyújtott megértő erkölcsi és anyagi támogatásért. IRODALOM [1] Németh E.: Hidromechanika. Tankönyvkiadó, Budapest, 1964. [2] Knudsen, J. G.—Katz, D. L.: Fluid Dynamics and Heat Transfer. McGraw-Hill, New York, 1958. [3] Timoshenko, S. P.—Goodier, J. W.: Theory of Elasticity. 2nd Edition. McGraw-Hill, New York, 1951. [4] Bálint E.: Közelítő matematikai módszerek. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1966. [5] Ralston, A.—Wilf, H. S.: Mathematical Methods for Digital Computers. Vol-I. (Tenth Printing). John Wiley, New York, 1967. [ti] Schneebeli, M.—Huard de la Marre, P.: Nouvelles méthodes de ealcul pratique des écoulements de filtration non-permanente á surface libre. La Houille Blanche, 1953. No. Spócial „B". [7] Huard de la Marre, P.: Nouvelles méthodes pour le ealcul expérimental des écoulements dans les massifs poreux. La Houille Blanche, 1953. No. Spécial „A". [8] Ling, S. C.: Potential Flow Analogs and Computere. Proceedings of the 6th Conference, Bulletin 36, State University of Iowa Studies in Engineering. 1956. 167—186. o. [9] Török, L.: Nem-permanens szivárgási feladatok analóg modellen való vizsgálatának módszerei. Hidrológiai Közlöny, 1960/1. [10] Tasny-Tschiassny, L.: The triangulation of two-dimensional continuum for the purpose of the approximate solution of second-order partial differential equations. Journal of Applied Physics, 1949. május. ltelaxationsveríahren zur Bestimmung der laminaren Gcschwindigkeitsverteilung Szalay, M. Die Laplace'-sche Gleichung der Potentialströmung liisst sich bekannterweise durch ein elektrisches Netz modellieren. Da die Navier-Stokes'sche Gleichung der laminaren Strömung sich davon nur durch das inhomogéné Glied gJ/v unterscheidet (Gl. 2. b) und sich auch in ein System von endlichen Gleichungen von der Form Gl. 4 zerlegen lásst, steht der Gedanke nahe, dieses Glied im elektrischen Modell durch die Stromstárke in zur Geltung koinmen lassen (Gl. 8. a und 8. b). Abb. 3 zeigt die elektrische Sehaltung für einen Quadrat-Querschnitt. l'otentialwerte in den Maschenpunkten entsprechen den Geschwindigkeiten, wenn man durch manuelle Relaxation die gleiche Stromstárke in allén inneren Maschenpunkten zufliessen lásst. Unter Benützung der durch Symmetrie gegebenen Möglichkeiten kann man mit derűseiben Aufwand von Bestandteilen ausführlichere Ergebnisse binnen kürzerer Zeit erhalten (Abb. 4 und 5), jedoch mit gewissen Abanderungen der Sehaltung. Die übliche Annahme, dass bei laminarer Strömung die Reibung zwischen Wasseroberfláche und Luft vernachlássigt werden darf, wird in Abschnitt 6 auch theoretisch bewiesen. Dadurch wird die Modellierung der laminaren Strömung in Gerinnen erleichtert, da ja der Wasserspiegel als Symmetrieachse aufgefasst werden darf. An elektrischen Modellen wurde die Geschwindigkeitsverteilung in einem einfachen und einem zusammengesetzten Trapezquerschnitt ermittelt (Abb. 8 und 9). Die Durchflu8smenge eines Maschenrechtecks kann mit Hilfe der Gl. 22 berechnet werden. Diese Gleichung ergab sich durch eine schrittweise Vermehrung der Maschenpunkte bis ins Unendliche nach Abb. 10. Da in der Nahe der Wand die Linien gleiclier Geschwindigkeit parallel zur Wand laufen, kann auch nach unendlich wiederholter Anwendung der Gl. 24 (Abb. 11. die Schubspannung an der Wand berechnet werden (Gl. 26). Durch die Gleichungen 27 und 28 kann man beweisen (Abb. 12), dass in einem rechteckigen Winkel- und somit auch an der Wasserlinie von Trapezquerschnitten mit einer Böschung von 1:1 — die Schubspannung gleichNull ist. Schubspannungsverteilungen für die obenangeführten Querschnitte sind in Abb. 13 und 14 wiedergegeben. Schliesslich wurde auch die Coriolis'sche Zahl der beiden Querschnitte in Abschn. 10 berechnet. Durch das Hinzufügen weiterer elektrischen Maschennetze besteht die Möglichkeit, auch die Reynolds'sche Gleichung der turbulenten Strömung durch Analogie zu modellieren. Electric analogue for velocity distribution of laminar flow Szalay, M. Network analogues for the solution of the Laplace equation of potential flow are well known. The NavierStokes equation of two-dimensional laminar flow differs from this only by the presence of the inhomogenous term gJ/v. (Equ. 2. b), and it is alsó possible to substitute it by a set of linear equations of the type Equ. 4. Thus it seems obvious to replace this term in the electric analogue through the current ijj flowing intő each internál node (Eq. 8. a and 8. b). Fig. 3 shows the circuit diagram for a square cross-section. Potential values in the nodes correspond to velocities if all the potentiometers are manually adjusted so as to obtain the same current iB flowing towards each node. By making use of possibilitj'es offered by symmetry, the same amount of resistors wi 11 yield more detailed results at a much higher speed although certain modifications in the circuit have to be introduced (Figs 4 and 5). One usually assumes the friction between water and overlying air to be neglected. A theoretical proof of this assumption is derived. Thus, the modeling of openchannel flow becomes very easy, since the water surface can be regarded as an axis of symmetry. By applying these considerations upon a simple and a compound trapezoidal cross-section, their veloeity distribution has been determined by the analogue method (Figs. 8 and 9). If the number of nodes within the grid unit 1—2—3—4 becomes inereased to an infinite density (Fig. 10), Equ. 22 will give the discharge through the same unit with a good accuracy. Since in the vicinity of solid boundary lines of equal velocity are practically parallel to the boundary, by a repeated application of Equ. 24 (Fig. 11) it is possible to determine the wall shear stress (Equ. 26). On the other hand, Equ. 27 and 28 show shear stress in a rectangular corner to be zero (Fig. 12). The same applies to the waterline of trapezoidal canalsjwith a slope 1/1. The dist ribution of wall shear stress for the above two canal profiles is shown in Figs. 13 and 14. Finally, the correction factor of kinetic energy has been calculated for both profiles (Section 10.). By adding two more electric networks to the actual one, the simulation of turbulent flow and hence, the solution of the Reynolds equation alsó becomes possible.