Hidrológiai Közlöny 1968 (48. évfolyam)
10. szám - Domokos Miklós–dr. Szász Domokos: Eloszlás függvények alkalmazása a vízkészletgazdálkodásban
Domokos M.—Szász D.: Eloszlásfüggvények Hidrológiai Közlöny 1968. 10. sz. 437 Eszerint ha pl. £ 2. . . £ 6 6 jelenti az augusztus havi középvízhozamokat az 1901., 1902., .... 1966. években, akkor a £ v £ 2, ..., | 6 6 adatokból készített F 6 6(X) eloszlási görbe egyenletesen jól közelíti az F(x) elméleti eloszlásfüggvényt, feltéve, hogy a tekintett vízhozamok függetlenek és azonos eloszlásúak. A Glivenko-tétel megfelelője a tapasztalati sűrűségfüggvény konvergenciájára is kimondható. E tétel egyik egyszerű (gyenge) alakja a következő: A Glivenko-tétel feltótelei mellett ha továbbá az f(x) elméleti sűrűségfüggvény véges sok x hely kivételével folytonos ós ha az f n(x) tapasztalati sűrűségfüggvény készítésénél használt felosztások sorozata olyan, hogy az n-edik felosztás x-et tartalmazó intervallumát \af£\ ft^'j-nel jelölve, minden x-re &(n) _ a( n) —» 0 X X ós ugyanakkor n(W»> —aW) -» oo, akkor véges sok x-től eltekintve tetszőleges rögzített pozitív e számra teljesül, hogy | P(|f(f») — f(*)|> «)-»0, ha n —» oo. 3.3 Kolmogorov tétele A Glivenko-tétel szerint F n(x) bizonyos feltételek teljesülése esetén bizonyos értelemben közelíti F(x)-et. De arról, hogy a közelítés milyen mértékű, hogy az hogyan függ az adatok számától, a Glivenko-tétel nem tájékoztat. Ezt a felvilágosítást Kolmogorov tétele adja meg, amely szerint az előbbi feltételek mellett (pontosabban: ha ezeken kívül F(x) még folytonos is, amit itt mindig feltehetünk), n elég nagy értékeire P[fra max | F n(x) — F(z) | < y] ~ oo<X <+oo |K(y), ha y>0 | 0, ha i/^o ahol a K(,)= 2 (-ife-^t=—oo függvény értékeiről táblázat készült. Kolmogorov tétele szerint tehát a közelítés mértéke a független adatok számának négyzetgyökével fordítottan arányos. 3.4 A Glivenko-tétel érvényességének feltételei Glivenko tételének két fontos feltétele van: a) az adatok legyenek függetlenek és b) azonos eloszlásúak, azaz egyöntetűek. Vizsgáljuk most azt, hogy ezek a feltételek a hidrológiában, ill. a vízkészletgazdálkodásban felhasznált vízhozamadatokra mennyire teljesülnek. 3.41 Az adatok függetlensége Glivenko tétele n darab független észlelési adatból készült tapasztalati eloszlásfüggvényről szól. Kolmogorov tétele szerint az elméleti eloszlásfüggvény tapasztalati eloszlásfüggvénnyel való közelítésének jósága VrT-nel arányos (azaz a két függvény közötti eltérés maximumának legvalószínűbb értéke Yn-nel fordítva arányos). Az adatok függetlenségének ellenőrzése Wald és Wolfowitz ismert tétele alapján történik [14], amelyet itt nem ismertetünk részletesebben. Helyette inkább azt vizsgáljuk, hogy az eloszlás(vagy tartóssági) függvények előállításához felhasznált adatok függetlenségére vonatkozó követelmény a vízkészletgazdálkodási gyakorlatban általában mennyire elégíthető ki. Ha m év (hónap) észlelési adatai alapján kell a vízhozamok eloszlását jellemezni és egy-egy év (hónap) napjainak száma k, a magyar gyakorlatban két eljárást követnek: a) A vízkészletgazdálkodásban a tapasztalati eloszlásfüggvényt, ill. a tartóssági görbét a napi középvízhozamokból, azaz k-m adatból készítik. b) A hidrológiában a tapasztalati eloszlásfüggvényt, ill. a megfelelő simuló eloszlásfüggvényt (1. a 4.1 szakaszban) általában az évi (havi) középvízhozamokból, azaz m adatból készítik. Ab) eljárást az indokolja, hogy egyrészt kevésbé munkaigényes, másrészt alkalmazása esetén valószínűleg egyszerűen teljesül a Glivenko-tétel egyik kritikus feltétele, hiszen az évi (havi) középvízhozamok — bár ennek megállapításához is alapos vizsgálatok szükségesek még — gyakorlatilag valóban függetleneknek mondhatók. Az elméleti eloszlásfüggvény közelítésének jóságát ekkor méri. Az a) eljárást az indokolja, hogy kiküszöböli a b) eljárásnak azt a következményét, hogy alkalmazása esetén az F n(x) értelmezési tartománya nem tartalmazza az észlelt adatok közül a legkissebbeket és a legnagyobbakat, amelyeket a középértékek „elnyelnek". (Ez a tény a vízkészletgazdálkodásban, ahol a vízhozam-eloszlásfüggvények nek éppen a kisvízi szakasza a legfontosabb, a b) el j árást — egyéb megfont olásoktól függetlenül is — alkalmatlanná teszi.) Ennek az az oka, hogy a két eljárásnál különböző eloszlásfüggvényeket közelítünk: az a) eljárással a napi vízhozamok, a b) eljárással pedig a havi közepes vízhozamok elméleti eloszlásfüggvényét. Az a) eljárás alkalmazása esetén viszont nem teljesül a Glivenko-tételnek az adatok függetlenségére vonatkozó előírása: tudjuk ugyanis, hogy pl. az egymásra következő napok középvízhozamai — bizonyos hidrológiai feltételek mellett — már nem tekinthetők függetlennek. Bár a valószínűségszámításban ilyen jellegű tételek még nincsenek bizonyítva, mégis az várható, hogy az mk (nem független) adat által adott közelítés jobb, mint m független adat, és rosszabb mint mk független adat által szolgáltatott közelítés. Az ezzel kapcsolatos gondolatok egyelőre csak heurisztikus jellegűek lehetnek, mert a Glivenkotételnek olyan általánosítása, amelynél a függetlenség feltevése nem szükséges, hanem csak bizonyos értelemben vett gyenge függetlenséget kívánunk meg, nem ismeretes, itt pedig elvileg ilyen tételre lenne szükség. Ha az adatok függősége elég gyenge, akkor várható, hogy a Glivenko-tétel érvényes marad, de természetesen ugyanolyan jó közelítéshez több adat figyelembevétele szükséges; annál több, minél nagyobb a függés.
