Hidrológiai Közlöny 1968 (48. évfolyam)
10. szám - Domokos Miklós–dr. Szász Domokos: Eloszlás függvények alkalmazása a vízkészletgazdálkodásban
434 Hidrológiai Közlöny 1968. 10. sz. Domokos M.—Szász D.: Eloszlásfüggvények az összetevő egységek vízkészletét jellemző értékek előfordulásának egyidejűsége — általában időbeli viszonya — is fontos szerpet játszik. Jelen tanulmányunkban azonban e kérdésekkel nem foglalkozunk. Az eddigieket összefoglalva, tanulmányunk általános célkitűzése most már így redukálható: Egyes vízfolyásszelvények vízhozamai — elsősorban kisvízi hozamai — eloszlásának jellemzése és a kapott eredmények általánosítása a vízkészletgazdálkodás igényeinek megfelelően. A vízkészletgazdálkodás igényeire vonatkozóan röviden a következőket kell még előrebocsátani! nk : A vízmérlegeknek Magyarországon leggyakrabban alkalmazott két fajtájában [4], az összesítő vízmérlegben és a vízgazdálkodási hosszszelvénvben, minden vízmérleg-elem — köztük a természetes felszíni vízkészlet — egyetlen számérték, illetve mennyiség. A természetes vízkészletre vonatkozóan feladatunk tehát annak megvizsgálása, hogy a rendelkezésünkre álló megfelelően hosszú víz hozam-idősorból — általánosabban: vízhozamidőfüggvényből — hogyan válasszuk ki a vízmérlegekbe helyettesítendő számértékeket, illetve hogyan állítsuk elő ott, ahol ilyen adatsorral nem rendelkezünk. Ennek az ún. mértékadó vízhozamértéknek a kiválasztásához a vízkészletgazdálkodás ad szempontot. Előírja ugyanis, hogy a vízmérlegbe helyettesítendő vízkészlet-érték biztosítottsága mekkora legyen. Valamely vízhozam-érték biztosítottságán az eddigi magyar gyakorlatban a következőket értik: Annak mértéke, hogy hosszú idő átlagában az összidőtartam hányadrészében várható, hogy az időben ingadozó vízhozam az adott értéknél nagyobb vagy vele egyenlő lesz. Valamely vízfolyásszelvényben egy adott vízhozam biztosítottságára vonatkozó megállapításra prognózisként van szükség. Ha észlelési sorból indulnak ki, akkor a prognózis alapjai a következők: a) a kiválasztott vízfolyásszelvény múltbeli (észlelt) vízhozamainak eloszlását jellemző ún. eloszlásfüggvény előállítása, b) állásfoglalás, illetve feltételezés a vízhozamok jövőbeli eloszlása és múltbeli eloszlása közötti kapcsolatra vonatkozóan, s ennek alapján a várható jövőbeli eloszlásfüggvény előállítása. A természeti tényezők a tapasztalat szerint hosszabb idő átlagában gyakorlatilag állandók. Ezért a b) feltételezést illetően abból szokás kiindulni, hogy — éppen a természetes vízkészletről lévén szó — a kellően hosszú (a hidrológiai gyakorlatban mintegy. 30 éves) múltbeli adatsorból előállított eloszlásfüggvényt a jövőre vonatkozóan is változatlanul érvényesnek tekinthető. (Ennek az állításnak a pontosabb megfogalmazására a 3.4 pontban, a Glivenko-tétel érvényességi feltételeivel kapcsolatban még visszatérünk.) Ami az aj alapot, azaz valamely adott vízhozam-adatsor eloszlásának jellemzését illeti, megjegyezzük, hogy ennek célszerű módjait a vízkészletgazdálkodás részben a matematikai statisztikából kölcsönzi, részben pedig — sajátos igényeinek megfelelően — maga is dolgoz ki módszereket. A tanulmány szűkebben értelmezett tárgya így tulajdonképpen a múltban észlelt adatok alapján a vízhozam-eloszlás jellemzés célszerű módjainak számbavétele. A hidrológiai adatok — köztük a vízhozamok — eloszlásának jellemzésére eloszlásfüggvényeket szokás alkalmazni. Az eloszlásfüggvények a leggyakrabban sikgörbéket vagy téralakzatokat állítanak elő. Tanulmányunkban csak az előbbiekkel foglalkozunk. 2. Az elméleti eloszlás- és sűrűségfüggvény A vízkészletgazdálkodás részéről a vízhozamok eloszlásával kapcsolatban jelentkező fő kérdés egyszerűsítve így fogalmazható meg: egy adott vízfolyásszelvényben mekkora vízhozamról állítható, hogy a nála kisebb — vagy pedig a vele egyenlő és a nála nagyobb — vízhozamok hosszú időszak átlagában az összidőtartam meghatározott hányadában jelentkeznek. A valószínűségelmélet szerint a feltett kérdésre az adott vízfolyásszelvényben lefolyó vízhozamnak, mint valószínűségi változónak az ún. elméleti eloszlásfüggvénye ad választ: F(x) = P(| <*), azaz az F(x) függvény valamely x abszcisszához tartozó ordinátája annak az eseménynek a P valószínűségét méri, hogy £ értéke x-nél kisebb. Esetünkben a Q vízhozam lévén a valószínűségi változó, a vízhozam F(x) elméleti eloszlásfüggvényét az F(x) - P(Q < x) képlet értelmezi. Az elméleti eloszlásfüggvényt elvileg csak végtelen sok egymástól független és egyöntetű mérési adatból lehet meghatározni. E feltételek a gyakorlatban nem teljesülnek, sem az adatok számát, sem a minőségét illetően. Ezért az elméleti eloszlásfüggvényt nem ismerjük, csak legfeljebb bizonyos gyakorlati szempontokat kielégítő közelítést tudunk adni reá. Ha az F(ar) eloszlásfüggvényhez megadható egy olvan í'(x) függvény, amelyre F(z) = X f f(x) d(z) teljesül, tikkor f(x)-et a £ valószínűségi változó sűrűségfüggvényének nevezzük. Ha az f(cc) sűrűségfüggvény létezik, akkor majdnem minden x-re f(x) = ~ F(x) ^ 0 dx (a sűrűségfüggvény egyébként is csak majdnem mindenütt meghatározott), továbbá nyilvánvalóan oo / i(x)dx=\. Az f(x) sűrűségfüggvény szemléletesebb meghatározása : . .. F(x + Ax)—F(x) P(x^£<x + Ax) T(X)= hm ; -= hm -. —, Ax-0 Ax Ax—*0 Ax azaz í(x) az x ^ | ^ x+Ax esemény valószínűsége és Ax hányadosának határértéke, ha Ax értéke 0-hoz tart.
