Hidrológiai Közlöny 1965 (45. évfolyam)
8. szám - Vágás István: Árhullámok entrópia-elmélete
Vágás 1.: Árhullámok entrópia-elmélete Hidrológiai Közlöny 1965. 8. sz. 34Í) 7. ábra. Exponenciális eloszlás szerint kialakuló árhullám {Szigyártó Zoltán vizsgálatai nyomán) és entrópiájának változása Ouzypa 7. naeodonnan eo/iHa, nojiyiaeuan no SKCnoHenquaAbHOMy pacnpedenenuw (no uccAedosanuHM 3oAmana Cudnpmo) u u3MeneHue.ee dnmponuu Fig. 7. Flood wave developing according to an exponential distribution (after investigations of Z. Szigyártó) and changes in its entropy értékskáláján értelmezett számadatok, hanem általánosságban az entrópiakülönbségek, az entrópia változásának mértéke határozzák meg. Emellett az értelmezés mellett most már mindegy, hogy milyen kezdeti görbével indult el az árhullám ; permanens módon történő továbbítását a változatlan entrópia (a torzulásmentes árhullámképismétlődés) jelzi, nem-permanens levonulását pedig az entrópianövekedés (az elnyúlt és ellapult árhullámképek serege) mutatja. Tekintsük át mindezeket gyakorlati példákon is. 2. példa. A Dunán 1954 nyarán levonult emlékezetes árhullám vízhozam-idő görbéi (6. ábra) — különösen áradó szakaszukat tekintve — nagymértékben megközelítik a lineáris alakzatot [6, 15]. Az entrópia változását az eléggé egyértelműen meghatározható linearitási középpontban találkozó sugarak hajlásszögének eotangenséből a (24) egyenlet szerint könnyen megállapíthatjuk. A [15]-ben már kiszámítottuk, hogy ennél az áradásnál Q e = 10 200 m 3/sec, Q 0 = = 4500 m 3/sec és T = 7,6 nap. Az ennek megfelelő bearányosított entrópiaértékek a 6. ábrán leolvashatók és a folyamkilométerek szerint is kifejezhetők. 3. példa. A nem-lineáris árhullámoknak a valószínűségszámításban is fontos alakú függvényét mutatja bedr. Szigyártó Zoltán tanulmánya [11]. Ebben megállapította, hogy a Keleti-főcsatornán lebocsátott árasztóvízhozamok — saját jelöléseinket alkalmazva — az idő folyamán a o(t) = 1 —e-'"* függvény szerint változnak a csatorna különböző szelvényeiben. Az egyes szelvényekben a tk érték természetesen változik (az árhullám lefelé haladásakor növekszik), az időszámítás kezdete pedig emellett a kifejezésmód mellett mindenkor a leggyorsabb vízrószecske vizsgált szelvénybe érkezésének időpontja. Az adott esetben az árhullám apadó ág nélkülinek képzelt (7. ábra). Az entrópia számítását most is megkísérelhetnénk a (14) egyenlet felhasználásával, azonban az S = —• J(1 - e1"*)-In (1 — e-"'*) -dí o integrál képzése során súlyos számítási nehézségeink támadhatnának. A (30) egyenlet szellemében viszont az entrópia „abszolút" értékét nem feltétlenül kell megállapítanunk, így elegendő a különböző szelvényekben meghatározható árhullámképeken az összetartozó érintők iránytangensének számértékét vizsgálnunk. Ennek megfelelően : Az összehasonlításhoz célszerű a görbék kezdőérintőit figyelembe vennünk, amelyhez tartozóan : t = 0. Ekkor : 1 tg <*o = —• tk Innen : S = k t • ctg oc 0 = k í • tk, A k l konstans értéke közömbös. A tk tulajdonképpen az áradó vízrészecskók átvonulási középideje, s az entrópia értéke ezzel arányos. Ez a végeredményünk azonos természetű a (16) egyenlet lineáris árhullámokra kifejezett összefüggésével. Az árhullámlevonulás főtételeinek megfogalmazása a hőtani főtételeknek mintájára Az entrópia statisztikai megfogalmazásában alkalmasnak bizonyult az árhullámlevonulásban rejlő árhullámképtorzulások határozatlansági fokának megállapítására, s e határozatlanság növekedésének nyomon követésére. Mindezek után megkísérelhetjük, hogy az entrópia termodinamikai megfogalmazásának hidraulikai vonatkozásait megkeressük és ezzel párhuzamosan kapcsolatot találjunk a termodinamika és az árhullámlevonulás útján létrejövő nem-permanens vízmozgások különböző jellemzői között. A termodinamika hőmennyiségek, illetőleg az ezekkel azonos energiamennyiségek továbbításának kérdéseivel foglalkozik. Az árhullámelmélet a vízmennyiségek továbbításának tulajdonságait vizsgálja. A termodinamikában a hőátadás feltétele a hőmérsékletkülönbség volt, az árhullámok esetében viszont a nem-permanens vízmozgás továbbadódása nem képzelhető el vízhozamkülönbségek nélkül. Mind a termodinamikában, mind pedig az árhullámok esetében értelmezhető volt egy olyan mennyiség, amely a hőmennyiségek, illetőleg a vízmennyiségek átadásakor csak növekedhetett (legfeljebb állandó értékű maradhatott), de sohasem csökkenhetett. Ezt a mennyiséget mindkét esetben entrópiának neveztük. Alkalmazzuk a fentebbiekben körülírt analógiákat és írjuk át eszerint az ismert termodinamikai főtételeket az árhullámlevonulás főtételeiként. A hőtan nulladiknak nyilvánított főtétele [3, 4] alapján leszögezhetjük, hogy a különböző folyószelvényekben meghatározható árhullámképekben mindenkor található olyan hidraulikai jellemző, amelynek számértékében mutatkozó egyenlőség a vízmozgás permanens voltának szükséges és elegendő feltétele. A vízmozgás permanens voltát a vízhozamok egyenlőségének alapján (több más ezzel egyenértékű vizsgálati módszer mellett) kétséget kizáróan megállapíthatjuk. A hőtan első főtételének átírásából kimondható, hogy az árhullámok jellegzetes meghatározója az általuk továbbított V vízmennyiség. Ez a vízmennyiség a minden időpontban változó, továbbfolyó vízmennyiségnek (V y), és a mederben tározódó vízmennyiségnek (F n) összegére bontható. A V x vízmennyiség t idő alatt kialakult értékét az alábbi integrál adja : t Fi= J [Q(f)-Q 0]-df. (39) o
