Hidrológiai Közlöny 1964 (44. évfolyam)
4. szám - Dr. V. Nagy Imre: A lamináris szivárgás instabil állapotának vizsgálata
162 Hidrológiai Közlöny 1964. 4. sz. V. Nagy I.: A lamináris szivárgás instabil állapota amellyel a szivárgás törvényszerűségei a Darcytörvény feletti tartományban végső soron kellő részletességgel felderíthetők. A szivárgási törvény megfogalmazása Amikor az említett eljárási módszer gyakorlati megoldási lehetőségeit keressük, akkor a tárgyalást azzal a megállapítással kell kezdeni, hogy a talajvíz mozgását csak statisztikai szemlélet alapján vizsgálhatjuk [1, 2], vagyis a tényleges talajvízmozgást egy fiktív, ideális folyadékkal helyettesítjük, amely nemcsak a pórusokat, hanem az egész mozgásteret folytonosan kitölti. Ily módon a fiktív folyadékot jellemző értékek a reális folyadék megfelelő értékeivel oly módon vannak kapcsolatban, hogy az eredeti p nyomásnak megfelel mp ; a nehézségi gyorsulás g értékének megfelel mg ; ahol az m tényező az egész mozgási térre állandónak feltételezett, a vízátbocsátó képességet jellemző tényező. Vizsgáljuk meg ezek után a permanens szivárgás esetén érvényes vízmozgás jellemzőit. Vegyük fel ebből a célból a szivárgási tér tetszőleges V térfogatát, és erre vonatkozóan írjuk fel az impulzus-tételt. Ekkor ható erőkként a tömegerőt s a felületi erőt kell figyelembe venni. A felületi erők két részből tevődnek össze ; egyrészt a normális erők (hidradinamikai nyomások), másrészt az érintő irányú erők (nyúlóssági feszültségek) veendők figyelembe. A ható erők impulzusát a mozgásmennyiség változásokkal egyenlővé téve, megkapjuk a dinamikai egyensúlyt kifejező egyenletet, azaz dt (" -£-(ao)dV = dt j* gPdV — dt [* pndF + dt f nTdF (10) F F A felületi integrálokról a Gauss—Osztrogradszkij tétel segítségével térintegrálokra térve át : dt | —pndF = dt j —V pd V ; f nTdF = dt f VTdV = — V(p-í/) + VT = = — V(p— U) + E (P =S/U; E = S/T) illetve más módon dv 8 Vjc dv x dv x dt + v'-W + v'-W + v'--8T ~ v {-p~ g y) + E Az egyenletekben P — az egységnyi tömegre ható tömegerő, p — a hidrodinamikus nyomás, n — a felületi külső egységnormális, T — a csúsztató feszültség tenzora, ill. az egységnyi folyadóktórfogatra vonatkoztatott ellenállási erő, v — sebességvektor, U — potenciálfüggvény, Q — folyadéksűrűség, V — a Hamilton féle vektoriális differenciáloperátor. A mozgásegyenlet ún. inerciós tagjait, clZciZ ct dv x dv x + V z dv x dx dy ' dz tagokat rendszerint elhanyagolják. Ekkor a folytonosság egyenletének felvételével, permanens mozgásra az alábbi feltételek adódnak E = v{V--gy) (14) (V,») = 0 Ilyenkor a feltételezések szerint az ellenállási erőt potenciális vektorként kezelik, azaz E = v (g, h) (15) azaz a nyomásfüggvény A = — —y Q9 (16) Az ellenállási erőt s a szivárgási sebességet az eddigi feltételezések során a E — — k v (17) dt dt [ [^(gv) — gP + Vp — S/T^dV = 0 (11) Tetszőleges V térfogat esetén az integráljel alatt szereplő részek zérussal egyenlők, azaz egyszerű átalakítások után dv összefüggéssel kapcsolták össze s ez képezte alapját az összes hidraulikai és hidromechanikai számításoknak. Teljesen nyilvánvaló, hogy a (14—17) egyenletekkel jellemzett tárgyalási mód nem vezethet további eredményekhez (különösen a turbulens szivárgási tartományban, miután a tehetetlenségi hatást elhanyagoltuk), ezért más megoldásokat kell keresni. Vizsgáljuk meg azért a (13) mozgásegyenlet inerciós tagjait, s fejezzük ki a pillanatnyi sebességet az átlagos érték és a pulzációs összetevők összegeként, azaz helyettesítés s a szokásos módon elvégzett átlagolási műveletek elvégzése után az v irányra felírható dv _ 85, dx + Vy dv,. dy + dVxV'y , dV,'/ 2 + + dv dt (18) (12) dx dy Sík permanens mozgás esetén, mivel az x tengely irányában az átlagos sebesség nem változik s felvéve egyelőre az y irányú átlagérték állandóságát is, ezért a (13) alapegyenletünk a helyettesítések elvégzése után felírható olyan formában, amely megadja a turbulens szivárgás differenciálegyenletét : gy +4) -E = 0 (19) (13) dy V o illetve az ellenállási erő szokásos kifejezésének
