Hidrológiai Közlöny 1963 (43. évfolyam)

4. szám - Vágás István: A vízszintduzzasztás elméletének hidraulikai, geometriai és matematikai felépítése

Vágás I.: A vízszínduzzasztás elmélete Hidrológiai Közlöny 1963. 4. sz. 321 hoz) tartozó duzzasztásértékek mértani haladványt alkotnak (5a ábra). Kérdés ezek után, hogy értelmezhető-e olyan művelet, s ezzel alkotott olyan haladvány, amely a vízszintes osztásközöket jellemzijakkor, ha a duzzasztási értékek sorában számtani haladványt (egyenlő magassági lépcsőket) adunk meg (5b ábra). Szükségünk van tehát olyan művelet bevezetésére, amelyet ismételve éppen úgy az összeadáshoz jutunk, mint ahogy az összeadás ismétlésével a szorzáshoz, a szorzás ismétlésével pedig a hatványozáshoz juthatunk. kozó A csoportelmélet szerint az általános m-re vonatmlog (a -b) = ,

Mlog a + "'log b (7) átalakítás egyik példája az ún. izomorf algebrai átalakításoknak [6, 10]. Az izomorf algebrai struktúrák a műveletek sajátságainak szempontjából nem különböztethetők ineg egymástól. Mindaz, ami az egy művelettel ellátott algebrai struktúrára a művelet elemeit jellemző individuális sajátságok felhasználása nélkül bebizonyítható, átvihető az illetővel izomorf struktúrákra is [6]. Vezessük be ennek tudatában az összeadásnál alacsonyabbrendű művelet fogalmát a műveleti jellel együtt, és a (7) egyenlet mintájára definíciószerűen írjuk fel a következő izomorf átalakítást: wlog (a + b) = '"log a A "'log b (8) Térjünk át természetes logaritmusra. A Bolyai geometria párhuzamossági távolságokra adott (2) exponenciális összefüggéséből [3j ismert k paraméter segítségével is átszámíthatjuk az m-alapú logaritmusrendszert e-alapúra a k = //In m megválasztással. Ebből következően : e?\

k = m

x (9/a) "'log e*/* = x (9/b) "'log x = k-\nx (9/e) Vegyünk fel két számot, p-t és g-t, úgy, hogy a = e

Pl

k és b — e

q^

k legyen. Alakítsuk át eszerint (8)-at, (9)-re is tekintettel: k- In (e"'* + e*

l

k) = p /\ q (10) Az egyenlőség bal oldalán emeljünk ki e"l

k-1, s cseréljük fel a jobb és bal oldalt : ( t-2) p/\q = p + k.\n\ l+e*> .... További átalakítással : p + q vA ? = + k-In 2ch (12) 2 ' "" 2 k Ezzel tulajdonképpen két szám kapcsolatára vonatkozó alapösszefüggéseket írtuk fel. A ,,A" művelet ismétlése valóban az összeadáshoz vezet. Ugyanis : p A p =p + k-\n2 (13) n-szer ismételve : V A V A V A • • • A V = V + ^"In n (I

4) Érdekes, hogy nem (p + 2) és „(p + n) alakú eredményt kaptunk, amint azt esetleg vártuk volna, hanem a k paramétertől függő és logaritmust tartalmazó kifejezéseket. Ez így helyes, mert különben n = 1 esetén az a - (a -(- 1) azonossághoz — vagyis nyilvánvaló ellentmondáshoz jutnánk. A (14)-ben n =1 esetén érvényes a = (a + /'-In 1) azonosság azonban helytálló. A (11) és a (12) egyenlet egyébként a művelet alapvető tulajdonságát is rögzíti, amenynyiben igazolja, hogy annak értéke A--tól függően végtelen sokféle lehet, éppen úgy, mint ahogy a Bolyai-geometriának, is £-tól függően végtelen sok válfaja képzelhető el. Ez nem meglepő, hiszen a k paraméter jelentése mind a Bolyaigeometriában, mind a művelet esetében azonos. Az adott esetre érvényes k értéket amelynek a (3) egyenletben rögzített hidraulikai értelmezése is van — számszerű vizsgálatoknál feltétlenül ismernünk .kell. Ezt a „A" jelzéssel fejezhetjük ki. Az alábbiakban felsoroljuk a „A" művelet néhány fontosabb tulajdonságát. 1. A „A" művelettel kapcsolt mennyiségek sorrendje felcserélhető : P A </ =?A P (15) Ugyanis (12)-ben : ^ 1-V =c

h P~q 2 k 2 k 2. A „A" művelet „V" jelű fordítottja (inverze) a (10), (11) és (12) egyenlethez tartozó levezetéshez hasonlóan értelmezhető : p\/ q = p + fc-In 1 = P + 9 9 — e k ) = /í -In 2 sh 2 k (16) p és q sorrendje itt nem cserélhető fel, hiszen P shJ^ziUsh! 2 k 2k 3. Ilap =q, úgy (16) alapján (q Ví)- (— 4. Ha p < q, a (p V </) érték a (16) alapján komplex szám. 5. A - 00 érték (mint 0 logaritmusa) sem a „A". se

m ^ „V" művelet eredményére nincs hatással, tehát : a/\(--°°) =a és a\/(—00) =a. Ez (11), (12) és (16)-ból egyaránt következik. 6. A (7) és (8)-ban felírt izomorf kapcsolatok, következményeként az (a + b)-c = (a-c + b-c) ún. csoportosítási törvény mintájára érvényes az (a A b) + c = (« + c) A (b + c) (17) azonossag. Az elmondottak a duzzasztási vízszínvonal szerkesztésének 4. ábrán bemutatott módszere során már szemléletes igazolást találtak. A ,,kiemelt"-nek nyilvánított vízfolyási szelvények közti vízszínvonaldarab meghatározásánál ugyanis az 5b ábrán bemutatott tételt is felhasználhattuk volna. A tétel szerint — ami a „A" művelet értelmezésének egyenes következménye — a duzzasztóműtől Xj távolságban érvényes D

l

t Xo tel ~ volságban érvényes D., duzzasztási értékek isme-