Hidrológiai Közlöny 1962 (42. évfolyam)

2. szám - Kovács György: A partmenti kútsor vízadóképessége és nyomáscsökkentő hatása

Kovács Gy.: A partmenti kútsor vízadóképessége Hidrológiai Közlöny 1962. 2. sz. 147 Ez a számítás lehetővé teszi a közelítés megbízhatóságának mérlegelését is. Ennek megítélésére meghatároztuk 50 m-es kúttávolság feltételezésével, valamint 1,00 m átmérőjű aknakút, illetőleg 0,20 m átmérőjű csőkút jellemzőit az első képen. Megállapítottuk, hogy a számítási segédletként alkalmazott grafikonok pontosságánál kisebb a két érték közötti különbség. így ezt elhanyagolhatónak ítélve azt javasoljuk, hogy a keresett jellemzőket a kútpalást és a tárgysík valós tengelyének metszéspontját jellem ző koordináta segítségével határozzuk meg : ei = f (+*•). g

2 = f(—r). (5) A jelölt függvény a leképező függvény inverze, a függvény pedig, amely kapcsolatot ad a tárgysík és a 3. ábrán bemutatott első képsík között a következő : Jt d4 [(v)

24

2] (6) Minthogy ez a leképezési egyenlet nem tartozik az irodalomban gyakran előforduló közismert leképezési függvények közé, röviden közöljük levezetését. Alapja a Schwartz—Christoffel tétel, amely a tárgysík 7—5—1— 3—9—4—2—6—8 töréspontokkal jellemzett vonalát a képsík abszcisszatengely évé, tehát egyenessé alakítja. Figyelembe kell vennünk, hogy az 1. és 2. pont képét leképezéskor a + 1. illetve —1 pontba kívánjuk átvinni, az 5. és 6. pont képe + y illetve — y, a 3. és 4. ponté pedig a + a, illetve —a, végül azt, hogy a 9. pont képe az origóba kerül. Az egyes töréspontokban az irányváltozás szöge — az óramutató járásával ellentétes forgást pozitívnak véve — a következő : & = + 4-^; = — /?

3=+4-3T; Po — + n; = • Pz = —

7

1; & = + ac—«) A kijelölt műveleteket elvégezve ós az integrált két integrál összegére bontva C r 1 1 z' = A 1/ (a

2— 4

2) (y

2— £

2) -'J r int « / • Ezek alapján a leképezési egyenlet általános alakja (C— !)(£+ l)d£ 1/

2(C + «)

1/

2(4-yí

/

2(4+y)~

/

2 V

2 7 + B. (X 1 y V(c C) (y

2-4

2) d^J + B. Minthogy a pontok képének helyét bizonyos mértókig szabadon választhatjuk, felvehetjük, hogy az 5. ós 6. pontok helyzetének y mérőszáma a 3. és 4. pontok kópét jellemző a-értók reciproka Ezt alapulvóve és a határfeltételekből meghatározva az integrálási állandókat, a (G) egyenletet kapjuk. Megjegyezzük, hogy azért kellett a kettős határvonal egyidejű kiegyenesítése érdekében ezt az aránylag összetettebb leképezést alkalmaznunk, mert ha csak a fél sávszélességet képezzük le egyszerű cosinus leképezéssel, a kút képe szinguláris pont (origo) lett volna. Ez a további leképezés során okozott volna nehézséget, mert nem tudtuk volna véges értékként számítani a helyettesítő galéria szélességót. A (6) egyenletet matematikai szempontból vizsgálva megállapítható, hogy a tárgysík origója környezetében nincs értelmezve. Ez azonban esetünkben nem is szükséges, hiszen az origó közvetlen környezete a kút metszete, ami már nem tartozik a szivárgás teréhez. A kijelölt integrál szabatos megoldása is nehézséget jelent a benne szereplő gyökök többértékűsége és a komplex síkban történő értelmezése miatt. A Q képsík valós tengelye mentén azonban •— a tengely egyes szakaszai mentén — meghatározhatjuk a z' ós 4 órtók kapcsolatát. Ez pedig elégséges a gyakorlati feladatok megoldásához. Tekintettel, hogy a számítások során a leképző függvény inverzét kell használnunk, így a (6) egyenletben kijelölt integrálnak a valós tengely menti megoldását is csak fokozatos közelítéssel alkalmazhatnánk. Célszerű ezért a megoldáshoz táblázatot, vagy grafikont készíteni. Segédletként mi is ilyen grafikonokat dolgoztunk ki, amelyekről az' és a Q változók közötti kapcsolat meghatározható. A görbék számításakor y = 10 értéket vettünk fel. Az 5. ábra a jelű görbéje a határvonal 5—7. és 6—8., ül. 3—9. és 4—9. szakaszának (2. ábra) leképzésére szolgál. A határvonal pontjait jellemző z' = x' +Í7t/2 komplex szám x' valós tagja és a valós tengelyre illeszkedő képpont f abszciszszája között ad kapcsolatot. A görbe használatával kapcsolatosan megjegyezzük, hogy ha az x' pozitív érték (5—7. és 6—8.) a két alsó skála közül az érvényes, amely jobbról balra növekszik 10-től 700-ig, míg negatív x' értékhez (3—9. és 4—9.) az alsó balról jobbra 0,0015-től 0,1-ig növekvő skála tartozik. A f érték előjele a z' képzetes tagjának az ítt/2 értéknek az előjelével egyezik, tehát az 5—7. és 3—9. vonalszakaszok képe az abszcisszatengely pozitív ága, a 6—8. és 4—9. vonalszakaszoké pedig a negatív ág. Az 5. ábra b jelű görbéjének segítségével határozhatjuk meg a tárgysík abszcisszájának pontjait jellemző (1—10. és 1—9. vonalszakaszok) x érték és a képsík képzetes tengelyének \rj j > 10. és \r)\ < 0,1] szakaszára vonatkozó kapcsolatot. Végül a 6. ábrával a határvonalnak a tárgysík képzetes tengelyére illeszkedő szakaszát (5—1. és 6—2., ill. 1—3. és 2—4. vonalszakasz) képezhetjük le. Az 5—1. szakasznak az -f 10 >- f >• +1 tartomány, a 6.—2. szakasznak a — 10 f < — 1 tartomány, az 1—3. szakasznak a -f 1 > f > -f + 0,1 tartomány, végül pedig a 2—4. szakasznak a — 1 < £ '< — 0,1 tartomány felel meg. A grafikonok segítségével meghatározva a 3. ábrán feltüntetett sugaras rendszert, ezt már könnyen áttranszformálhatjuk második lépésként a 4. ábrán feltüntetett galéria formává. A transzformációt a forrás áramképének leképzésére szol-