Hidrológiai Közlöny 1961 (41. évfolyam)

1. szám - Haszpra Ottó: Függvényskálák és alkalmazásuk a hidraulikában

Haszpra O.: Függvényskálák és alkalmazásuk Hidrológiai Közlöny 1961. 1. sz. 51 Azt az észrevételt, hogy a skálás ábrázolás nem szemléletes, nyugodtan mellőzhetjük, hiszen a skála nem az oktatás vagy a kutatás eszköze, hanem kifejezetten a numerikus számolásé. Másik észrevétel, hogy a skála megrajzolásakor elkövetett hibát nehezebb észrevenni. Erre tapasztalat alapján is nyugodtan mondhatjuk, hogy a szem annyira érzékeny a skála sűrűsödésének, ritkulásának fokozatosságára, hogy az elkövetett hibát könnyebb észrevenni, mint a görbén. Miután így bebizonyosodtak a függvényskálás ábrázolás előnyei, szóljunk néhány szót a szerkesztés gyakorlati végrehajtásáról. I. Ha a skálafüggvények összes szükséges értékei táblázatból vehetők, vagy ha a skála egyezik léptékvonalzónk valamelyik osztásával, a skála minden egyes beosztását felméréssel rajzoljuk meg. (Meg kell jegyeznünk, hogy az f(x) és a g(y) táblázatok megléte nem jelenti az f(a;) = g(y) kapcsolatnak a táblázatok alapján egy lépésben való megoldhatóságát, tehát a skálás ábrázolás fölöslegességét!) II. Ha a skálafüggvény táblázata nem elég részletes, vagy egyáltalán nincs meg, viszont az ábrázolandó kapcsolat egyenlet formájában rendelkezésre áll, akkor a skálának viszonylag kevés pontját határozzuk meg a táblázat vagy számítás alapján felméréssel, a további sűrítést szerkesztéssel vagy segédszámítással kombinált szerkesztéssel végezzük. III. Ha a skálafüggvény vagy maga az ábrázolni kívánt kapcsolat görbével van megadva, a skálát a görbéből szerkeszthetjük, de segédszámítás közbeiktatásával a II. pontban foglalt módon is eljárhatunk. Az l. esetről legfeljebb annyit kell szólnunk, hogy a beosztás közeinek nagyságát 1—3 mm között célszerű felvennünk, ebben az esetben a leolvasási középhiba nem haladja meg a 0,1—0,2 mm-es távolságnak megfelelő értéket. Ez vonatkozik a többi esetre is. A II. esetben legyen három egymásra következő, felméréssel meghatározott beosztás kótája (tehát az az érték, amellyel a beosztást számozzuk) a, b és c. Legyen a—b = b—c. Ha az a és b, valamint a b és c pontok közti távolság egymástól 2. ábra. Arányos osztás (lineáris interpoláció) <J>ue. 2. nportopifuoHaAbHoe deAeaue (uHmepnoAMjun no npHMOü AUHUU) Abb. 2. Proportionelle Teilung (lineare Interpolation) 1 mm-rel tér el, akkor e pontok közét a jól ismert arányos osztással (lineáris interpoláció) sűrítve (2. ábra), olyan beosztást nyerünk, amely a hibátlantól a szakaszok közepe táján legfeljebb 0,12 mm-rel tér el. Ennek csak az a feltétele, hogy a skálafüggvény ezen a szakaszon másodfokú függvénnyel elég pontosan legyen megközelíthető. Az ún. sűrűsödési pontok [1] kivételével azonban ez mindig teljesedik. Ha például a 12,5 cm-es logarléc alapskáláján a 14, 16 és 18 értékekhez tartozó beosztások között a sűrítést arányos osztással végezték volna, a maximális hiba 0,12 mm lett volna. Ez azt jelenti, hogy a használó pl. 15 helyett 14,97-et olvashatna le. Ez pedig olyan kis tévedés, ami még a szabatosan osztott léc leolvasásánál is előfordulhat. Rajzeszközeink pontatlansága teljesen értelmetlenné teszi, hogy a felméréssel meghatározott beosztást ennél sűrűbbre készítsük. Nagyított rajz és utólagos fényképészeti kicsinyítés esetén természetesen a pontosságot fokozhatjuk. Ha a felméréssel meghatározott a és b, ill. b és c pontok közti távolságok több mint 1 mm-rel térnek el egymástól, a lineáris interpoláció már nem tudja biztosítani a rajz útján elérhető pontosságot. Ilyenkor a beosztás sűrítésére a parabolikus (kvadratikus) vagy a hiperbolikus (projektív) interpoláció szokásos. A parabolikus interpoláció a következőképpen történik (3. ábra) : Ha az a és b kótájú pontok távolságát Z

a-val, a b és c kótájú pontok távolságát Z&-vel, a kettő különbségét A

a-val jelöljük, akkor az a — értékhez tartozó osztásvonal az l

a távolság felezőjétől ~ távolságban van""a rövidebb (jelen esetö L ban a b

c) osztásköz irányában. Ugyanez a helyzet a 5c osztásköz felosztásánál is. A kapott új közök ugyanezzel az eljárással tovább oszthatók, míg az utolsó parabolikus sűrítésnél a szomszédos osztásközök hossza közti eltérés le nem csökken 1 mm-re. Ekkor a további interpoláció lineárisan történhet. A parabolikus interpoláció elvileg abszolút pontos, ha a skálafüggvény másodfokú egész függvény, vagyis s = Ax

2 -f- Bx + C alakú. 3. ábra. Parabolikus (kvadratikus) interpoláció 0ue. 3. napadoAunecKüH (KeadpamimecKan) unmepnoAMfusi Abb. 3. Parabolische (quadratische) Interpolation