Hidrológiai Közlöny 1959 (39. évfolyam)

5. szám - Szigyártó Zoltán: A Bodrog bodrogszerdahelyi évi jégmentes nagyvize és a Tisza tokaji vízállása

342 Hidrológiai Közlöny 1959. 5. sz. Szigyártó Z.: A Bodrog bodrogszerdahelyi évi jégmentes nagy vize Az elméleti fejtegetések lezárásaként foglaljuk össze jelöléseinket és eredményeinket: £ a Bodrog bodrogszerdahelyi évi jégmentes nagy vizét, r/ a Tisza ezzel egyidejű tokaji vízállását jelölte. f, M (£) = 6,172 m várható értékű D (£) = = 0,'941 m szórású, igen jó közelítéssel normális eloszlású valószínűségi változó. v = M (y)\x) + 6, ahol 31 {rj[x) = —1,130 + 1,146 x ő, M(ő) = 0,000 m várható értékű, D (ő) = = 0.946 m szórású igen jó közelítéssel normális eloszlású valószínűségű változó. A gyakorlati alkalmazás Az elméleti kérdések tisztázása után vizsgáljuk meg az eredmények gyakorlati alkalmazását. Ezzel kapcsolatban két kérdésre kell kitérnünk : be kell mutatnunk, hogy a levezetett összefüggések felhasználásával adott esetben miképpen kell kiszámítanunk a valószínűséget. Végül meg kell vizsgálnunk, hogy érdemes-e egyáltalán a két valószínűségi változó közötti függőséget ilyen, meglehetősen bonyolult módon figyelembe venni, s nem célravezetőbb-e megelégedni az annál durvább közelítést adó, de lényegesen könnyebben kezelhető (1) képlet alkalmazásával, a függetlenség feltételezésével. Vegyük sorra a kérdéseket. Lássuk először a valószínűségek gyakorlati meghatározását. Jelölje ismét A azt az eseményt, hogy valamelyik évben a Bodrog bodrogszerdahelyi évi jégmentes nagyvíze az ^ f < On vízállásközbe, s B azt az eseményt, hogy a vele egyidejű tokaji Tisza-vízállás a b

x ^ rj < b

n vízállásközbe esik. A két esemény együttes jelentkezésének valószínűségét, mint tudjuk a (3) képlettel kell kiszámítani : P (A •B) = P (4).p {B\A) A jobboldal első tagja, az A esemény valószínűsége. Meghatározása nem okozna gondot, hiszen P (4) = P (aj£ <a„) s a jó közelítéssel normális eloszlású £ valószínűségű változó várható értékét és szórását ismerjük. A jobboldal második tagjának közvetlen megállapítása azonban meglehetősen nehéz, hiszen P (B\A) = P (b

1^

v< b

n'a

l < a

n) és mint tudjuk, 77 eloszlása minden £ = x érték mellett más és más. Éppen ezért a (3) képlet némi átalakításával egy egyszerűbben járható út választása a célszerű. Osszuk fel a A esemény bekövetkezését jellemző (a

1

; a

n) intervallumot olyan kis rész-intervallumokra, amelyeken belül már teljesül a P (b

x^Tj < b

n\x) & const, ha ^ x <Of

+, es y , 2J (®*+I — Oi) = a

n — a, i — l feltétel, s jelöljük Ai-xe\ az üt — £1 esemeny bekövetkezését. Ilyen feltételekkel az eseményalgebra szabályai szerint [1. p. 12.] : n—1 Ai - At = 0 i, k = 1, 2, ..n — 1, i # k, tehát az A és a B esemény egyidejű bekövetkezése : n—1 n—1 A-B= Ai^y^Ai-B (11) i —1 1 = 1 A valószínűségszámítás ide vágó tétele értelmében [1. p. 46.] tehát: (

n—1 \ n—1 ^ Ai-B = 2 V(Ai-B) (12) i = l ) i — l Erre alkalmazva végre a (3) képletet: n—1 P(i4.fl)= 2 P(AÍ)-P(BIAÍ) (13) i = 1 Szavakban : ha a A és B esemény együttes előfordulásának a valószínűségét meg akarjuk határozni, ezt úgy is elvégezhetjük, hogy a A esemény bekövetkezésére jellemző (a,, a

n) intervallumot felosztjuk kis, egymást át nem fedő (a,-, «i

+i) részintervallumokra, megállapítjuk a szokásos módon az egyes P(^i) =P(a

f^£<a

i+

1) valószínűségeket, mindegyiket megszorozzuk a neki megfelelő és most már egyszerűen kiszámítható P {B\Ai) « P (ö, ^ rj < 6»\x = at) valószínűséggel és ezeket a szorzatokat összegezzük. Maga az eljárás nyilván közelítő. Pontossága attól függ, hogy mennyiben teljesedik a (9) kifejezésben megállapított feltétel. Viszont éppen e miatt a rész-intervallumok hosszának csökkentésével a pontosság, egyúttal tetszőleges mértékben, fokozható is. Ezzel lényegében megfeleltünk a gyakorlati alkalmazással kapcsolatos első kérdésre. Tisztáztuk a valószínűségek kiszámításának módját. Rátérhetünk tehát a feladat megoldása kapcsán felmerülő utolsó, de annál lényegesebb kérdésre : Érdemes-e feladni a függetlenség feltételét, érdemes-e az (1) képlet egyszerű alkalmazása helyett a valószínűségeket ilyen meglehetősen bonyolult és hosszadalmas úton kiszámítani. Ennek eldöntése érdekében három gyakorlati esetre kiszámítottuk a valószínűségeket a függőség figyelembevételével és a függetlenség feltételezése mellett is. Az eredményeket az 1. táblázat foglalja össze :