Hidrológiai Közlöny 1958 (38. évfolyam)

3. szám - Ivicsics Lajos: Tapasztalati egyenletek meghatározása

Ivicsics L.: Tapasztalati egyenletek meghatározása Hidrológiai Közlöny 1958. 3. sz. a) A mérési adatok x és y értékeit annyi csoportra bontjuk, amennyi ismeretlen együttható az egyenletben szerepel. Arra törekszünk, hogy az egyes csoportok tagjainak száma lehetőleg egyenlő legyen egymással. b) Kiszámítjuk az egyes csoportok x és y értékeinek középértékét (x, y) és az így kapott értékeket helyettesítjük be az egyenletbe az állandók kiszámítása céljából. Például a 1G. egyenlet esetében kiszámítottuk a h és a Q értékeket (1. táblázat). Behelyettesítve a (17) egyenletbe az 1. táblázat utolsó két rovatában feltüntetett értékeket, az egyenletet megoldva, az eredmény a = 2,01 b = 0,278 a korábbiakban más módszerrel meghatározott értékektől nem tér el túlzottan. 5. A nyomatékok módszere [3]. Ila a változók közötti kapcsolat az y = a + bx + ox

2 +...-(- px

n (31) általános alakú egyenlettel fejezhető ki, bizonyos esetekben célszerű a nyomatékok módszerét alkalmazni. A mód szer alkalmazásának feltétele az, hogy az egymást nagyság szerinti sorrendben követő x értékek szomszédos tagjainak különbsége (A x) állandó legyen. Az (x, y) értékpároknak a mérési eredményeknek megfelelő pontok közé rajzolt kiegyenlítő görbéről történő leolvasásával ez a követelmény kielégíthető. A további lépések a következők : a) Kiszámítjuk a görbéről leolvasott értékek alapján a M

0 = E yAx = Ax E y M

l = t xyAx = Ax E xy (32) M

2 — E x

2yAx = Ax Ex

2y nyomatékokat, feltételezve, hogy ezeknek értéke a (31) egyenletből is kiszámítható.Ha például a (31) egyenlet az .t-re nézve lineáris, csupán az M„ és az Ál, nyomatékokat, használjuk fel a további számítások céljára és ebben az esetben fi 4. táblázat M

n f (x) dx = Ax Ey = a (/3 — a) P r a (fi

2 — a

2) M

l — I r 1 (x) dx — Ax Exy — f + b(lS

:

i —a

;

1) (33) ahol a = Xmin — Ax 1 P = %ax + — At (34) b) A (33) egyenletekben csupán az a és a b állandók ismeretlenek, az egyenletek megoldásával értékeik kiszámíthatók. Például feltételezzük, hogy a 4. táblázatban szereplő x és y értékek közötti összefüggés az y = a + bx (35) egyenlettel fejezhető ki. Számítsuk ki az a és a b állandókat a nyomatékok módszerével. Minthogy ebben az esetben a = 0,5 E y = 176,86 j8 = 20,5 Ax = 1,0 Exy = 2035,73 b (20,5

2 — 0,5

2) 20 a -| — — = 176,86 (20,5

2 — 0,5

2) b (20,5

3 — 0,5

3) a -j 2035,73 (36) Sorszám X cm y cm xy cm

2 1. 1,0 6,28 6,28 2. 2,0 6,60 13,20 3. 3,0 ' 6,86 20,60 4. 4,0 7,11 28,45 5. 5,0 7,36 36,80 6. 6,0 7,67 46,10 7. 7,0 7,90 55,30 8. 8,0 8,17 65,40 9. 9,0 8,48 76,40 10. 10,0 8,71 87,10 11. 11,0 8,95 98,50 12. 12,0 9,24 110,80 13. 13,0 9,51 123,70 14. 14,0 9,76 136,80 15. 15,0 10,03 150,70 16. 16,0 10,32 165,30 17. 17,0 10,58 179,80 18. 18,0 10,82 195,00 19. 19,0 11,11 211,50 20. 20,0 11,40 228,00 Ey = 176,86 Exy = 2035,73 Megoldva az egyenletet, eredményül a = 6,02 b = 0,268 értékeket kapunk. A nyomatékok módszerét, minthogy néhány egyszerűbb esettől eltekintve bonyolult számítási munkát jelent, csupán ritkán alkalmazzák. 6. Interpolációs módszer |4 |. Az interpoláció folyamán valamely V = f (x) . (37) függvényt bizonyos szakaszon az y = <p(x) (38) függvénnyel helyettesítünk. A tapasztalati egyenletek meghatározásánál feltételezhetjük, hogy a (37) függvény a mérési eredményeknek megfelelő pontok kiegyenlítő vonalának, a (38) függvény pedig egy azt kielégítő pontossággal megközelítő görbének felel meg. Ebben az esetben a (38) függvény állandói megfelelő pontosságú közelítéssel az általunk keresett tapasztalati egyenlet, állandóinak felelnek meg. Az y = <p (x) függvényként gyakran alkalmazzák az interpolálásnál használatos Ay <p (x) ~y = y

0 + (x — x

n) + A

2 y + TTTTi^ — *o) (« — »,) + 2 !/i,

2 A

3 y + 3 lh

3 -«„)(*•—«i> (« — *«)+ ••.• (39) Newton-féle függvényt. Itt y„ az y valamely kiindulásul használt értékét, x

0 az i/

0-nek megfelelő, x„ x

2 pedig a görbe két másik pontjának megfelelő x értéket jelent. A y, A-y, A

:

>y a szomszédos y értékek közötti első, második és harmadik differenciát jelenti, és h — íZ/j X

Q —• >^2 — — • • • (40) Ennek alapján a keresett állandókat a következőképpen számítjuk ki : 1. Átalakítjuk a (39) egyenletet. Minthogy a legtöbb esetben az egyenlet jobb oldalán álló első három tag figyelembevételével kielégítő pontosságot érhetünk el, az átalakítást ezekre a tagokra vonatkozóan végezzük el. Eredményül az [y oAy A

2y I X„ z ~XnX

t 2h

2 ( ^ A

2y A

2y { h 2 h

2*" 2 7f

2 y 7«i I X -|—_•

_ x(41) 2 7)

2 egyenletet kapjuk.