Hidrológiai Közlöny 1957 (37. évfolyam)

4. szám - Szigyártó Zoltán: A hidrológiai események visszatérési ideje

326 Hidrológiai Közlöny 37. évf. 1957. 4. sz. Szigyártó Z.: Hidrológiai események visszatérése Tehát : P(f=2) = P(I

r4

í) 2 llasonló meggondolásokkal annak a valószínűsége, hogy a A újból csak a &-ik évben jelentkezik : P(f = i) = P(Ir2í...Ií.i-4»). Vizsgáljuk meg az utóbbi kifejezést. Természetesen lehetséges, hogy az események előfordulása között bizonyos törvényszerű összefüggés van. így lehet, hogy az A, vagy az A bizonyos évi bekövetkezése módosítja azok következő évi bekövetkezésének a valószínűségét. Egyszóval lehet, hogy az egyes Ai, illetőleg Ai események függnek egymástól. IIa így van, akkor a h évig tartó visszatérési idő előfordulási valószínűségének a kiszámítása komoly gondot okoz. A feladat megoldásához ugyanis tudnunk kell azt, hogy az események bekövetkezése miként módosítja a következő évi bekövetkezések valószínűségét. Lényegesen egyszerűbb a helyzet akkor, ha az egyes Ai, illetőleg Ai események összességükben is függetlenek egymástól. Ebben az esetben ugyanis bármelyik esemény akárhányszori előzetes bekövetkezése, vagy be nem következése nem befolyásolja egy újabb bekövetkezésének a valószínűségét. így igaz a valószínűségszámítás azon tétele, hogy a vizsgált események együttes bekövetkezésének a valószínűsége egyenlő az egyes események valószínűségeinek szorzatával: = p üx) -p a*).. p a*_i) • p (A

k), illetőleg, minthogy a függetlenség miatt az A és A esemény bekövetkezésének a valószínűsége bármelyik évben ugyanaz, tehát P (^4,) = P (A) és P CM = P (4); W P(£ = k)= [P (I)]

l"'-P(4)= q*—'1 -p = p (1 — P)

k~~

1 A függetlenség feltételezésével tehát az egyes valószínűségek így alakulnak : P(£ = fc) = p(l— PY'

1 Az egyes valószínűségek ismeretében az eloszlásfüggvény megállapítása most már könnyű feladat. A valószínűségszámítás egyik tétele értelmében ugyanis annak a valószínűsége, hogy a visszatérési idő f hossza x évnél rövidebb, egyenlő a £ valószínűségi változó 1,2,. .., x— 1 értékéhez tartozó valószínűségek összegével: k = x

—i F(x) = V(S<X)= y p(i_p)*-i így a feltett kérdésre a függetlenség feltételezése mellett választ lehetett kapni. A levezetett 2 Olvasd : „Annak a valószínűsége, hogy a S valószínűségi változó a 2-es értéket felveszi egyenlő az Ai és A

2 események együttes bekövetkezésének a valószínűségével. eredmények alapján pedig megállapíthatjuk, hogy feltételeink mellett a visszatérési idő hosszának eloszlása az ún. elsőrendű negatív binomiális, vagy más néven Pascal-eloszlással azonos.

3 Ennek következtében az eloszlás várható értéke, vagyis a visszatérési idő átlagos hossza :

4 Végül az eloszlás szórása, vagyis az az érték, amelyik képet ad a valószínűségi változó értékeinek a várható érték körüli tömörüléséről :

5 Az eloszlásfüggvény értéke, mint látjuk csupán az A esemény p valószínűségétől, s az x értékétől függ. Ez lehetőséget adott arra, hogy a gyakorlati számítások végrehajtásának megkönyV 1. ábra. A Pascal-eloszlás függvényértékei Abb. 1. Funktionswerte der Pascalschen Verteilung Fig. 1. Function values of the Pascal distribution nyítésére egyszerűen kezelhető táblázatot, illetőleg grafikont dolgozzunk ki. így az itt közölt táblázat a p valószínűség, mint paraméter függvényében megadja a különböző x értékekhez az eloszlásfüggvény számszerű értékeit. Az 1. ábra viszont, a könnyebb áttekinthetőség biztosítására, ugyanezt az összefüggést grafikusan ábrázolja. Az utóbbival kapcsolatban fel kell hívjuk azonban a figyelmet arra, hogy maga a függvény csak a pozitív egész számokra értelmezhető s csak a jobb áttekinthetőség érdekében kötöttük össze folytonos vonallal az ugyanazon p értékhez tartozó különböző függvényértékeket. Lássunk most egy példát is, a táblázat és a grafikon használatára. Mosonmagyaróváron a csapadék évi mennyisége p = 0,5-ös, vagy más kifejezésmóddal 50%-os valószínűséggel több 605 mm-nél. Kérdés, hogy ennek a 605 mm-en felüli csapadékmennyiségnek a visszatérési ideje milyen valószínűséggel kisebb 5 évnél? A keresett 3 Rényi Alfréd : Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó. Bp. 1954. 104. o. 4 Rényi Alfréd : Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó. Bp. 1954. 257. o. 5 Rényi Alfréd : Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó. Bp. 1954. 303. o.