Hidrológiai Közlöny 1953 (33. évfolyam)

9-10. szám - Ivicsics Lajos: Az invariáns számok és meghatározásuk módja

35J/. Hidrológiai Közlöny 33. évf. 1953. 9—10. sz. Ivicsics L.: Az invariáns számok és meghatározásuk éitékét vesszük fel, hogy a megmaradó ismeretlenek száma egyenlő legyen az egyenletek számával. A lineáris egyenletrendszer pedig, ha az ismeretlenek együtthatóiból alkotott determináns értéke nem zérus, a determinánsok segítségével megoldható. Annyi ismeretlenes egyenletet tudunk tehát mindenkor megoldani, amennyi a determináns rendszáma és ezzel együtt a mátrix rendszáma is. Ezzel megegyező számú ismeretlen számértéke a többi ismeretlen értékének felvétele után már meghatározott. Bárhogy vesszük is fel az n—r számú ismeretlen számértékét, a determinánsok segítségével meghatározott ismeretlenek minden esetben kielégítik az egyenleteket. Ebből látható, hogy a dimenziónélküli .kifejezéseket bármely hatványra is emeljük. — tehát az n—r számú ismeretlent bárhogyan is vesszük fel — ismét csak dimenziónélküli kifejezéseket kapunk. Tegyük fel pl., hogy n számú változóból akarunk dimenziónélküli csoportokat képezni. Miután a feltétel az, hogy a csoportok dimenziónélküliek legyenek, az alapmértékegységek számának megfelelő számú homogén lineáris egyenletet írhatunk fel, amelynek együtthatói a dimenziómatrix tagjai. a

x k

x + «2 k-i + • • • + «» kn = 0 b

x Ax + b

2k

2 + ... + b

n ícn = 0 1 2 3 4 5 6 7 P Q R S T U V M 2 —1 3 0 0 —2 1 L " 1 0 —1 0 2 1 2 T 0 1 0 3 1 1 2 (50) (49) legyen ennek az egyenletrendszernek a megoldása K

v «

2 . . . K

n úgyszintén legyen a megoldása k" V V Kl> K2 • •• Kn is, akkor L k

1 = k[A + k'^B +•. .. \ = k'

2A + k'

2'B+... szintén megoldása az egyenletnek. A l\. k

s ... k

n megoldásokat a k[ , kó .. . k'

n és a k'[. k'í ... k"„ megoldások lineáris kombinációjának nevezzük, ahol A. B ... tetszőleges állandók. Mivel az n—r számú változók értékeit teljesen tetszőlegesen vehetjük fel, a megoldások száma végtelen. Vannak azonban a megoldások között olyanok, amelyek egymásnak nem lineáris kombinációi, egymástól lineárisan függetlenek. Ezeket a megoldások alaprendszerének nevezzük. Minket elsősorban az alaprendszerbeli megoldások érdekelnek. Mivel az egyenletek megoldásai a dimenziónéíküli csoportok hatványkitevőit adják meg, a megoldások alaprendszere a dimenziónélküli csoportok alaprendszerét szolgáltatja. Figyelmen kívül hagyva a triviális megoldásokat (k

x = k

2 = — ... = k

n = 0), bebizonyítható, hogy a (49) egyenletnek pontosan n—r alaprendszerbeli megoldása van. Nézzük a fenti meghatározási módot egy példán : Legyen adott a következő hét változó : P, Q, R, S, T, U, V és e változók dimenziómatrixa a következő : 1. lépés. Keresendő a dimenziómatrix rendszáma. Kifejtjük a mátrix jobboldalán levő determinánst. (Megjegyzendő, hogy a változók felírásának sorrendje teljesen tetszőleges. Bizonyos esetekben, amikor a mátrix jobboldalán álló determináns zérus értéket ad, a mátrix átrendezése válik szükségessé, hogy megnézzük, nincsen-e egy másik ugyanolyan rendszámú, de. nem zérus értékű determináns.) Tehát : 0 —2 1 i 2 1 2 ; = 1 # 0 Tehát r = 3 ,1 —12 2. lépés. Meghatározandó a dimenziónélküli csoportok gpzáma. Mivel n = 7, r = 3, m = n — r = 4. 3. le^jés. Fel Írandók a homogén lineáris egyenletek. Ezeknek együtthatói a dimenziómatrix soraiban lévő számok. 2 ^ -k

2-f 3 k

a — 2 k

6 + k

7 =01 k

:

1 — k

3 + 2 k

5 + *

e + 2 k

7 =0 (51) ki + 3 + k

b — k

6 .+ 2 k

7 = 0 ) 4. lépés. Megoldandók az egyenletek. Az (51) jelű egyenletekből 3 ismeretlen értéke határozható meg. Kifejezve ezeket az egyenletekből : = — 11 íi + 9 k

2 -Cg k

a -f 15 lc

4 k 6 k

7 5 k

1 — 4 k'2 k-i -— 6 k. 8 k

x — 7 k

2 -(- 7 fó

3 12 k

á (52) Az (52) egyenletekből, ha k

t -- 1 k'2 = k

3 = = 0 akkor k

& = —11; k'

6 = 5 és k

7 = 8 továbbá, ha A', = k

3 = = 0 ; k

2 = 1, akkor k

5 = 9, k

6 = —4 és k. = —7, stb. Táblázatba foglalva az eredményeket : ki k

2 k 3 /.'

4 k

5 k

6 kj P Q R s T U V 1 0 0 0 —11 5 8 n

z 0 í 0 0 0 —4 —7 jt

3 o 0 1 0 —9 5 7 0 0 0 1 15 —6 —12 (53) Az 53 táblázat (megoldásmatrix) számai a dimenziónélküli csoportok"^ hatványkitevői. Az 53