Hidrológiai Közlöny 1953 (33. évfolyam)

9-10. szám - Ivicsics Lajos: Az invariáns számok és meghatározásuk módja

Ivicsics L.: Az invariáns számok és meghatározásuk Hidrológiai Közlöny 33. évf. 1953. 9—361. sz. 3Jfi Lényege a Fourier-tétel nyomán az. hogy a fizikai egyenletek helyességének szükséges feltétele, hogy az egyenlet mindenegyes tagja ugyanazon dimenzióval bírjon. Például a Bazin-bukó vízszállítását a következő négy mennyiség jellemzi: Q . .. vízhozarii, g ... nehézségi gyorsulás, s . .. a bukóéi hossza H ... átbukási magasság. Egyszerű meggondolás alapján belátható, hogy a vízhozam az utóbbi három mennyiség valamilyen hatványának és egy ,.k" tényezőnek a szorzatával egyenlő, vagyis Q = h s

a g H

c (45) Behelyettesítve a változók dimenzióját : J! \J>2) Felírható tehát, hogy 3 = a -f b + c _ 1 = _ 2 b Mintán könnyen belátható, hogy a vízhozam* a bukóéi hosszának első hatványával arájavos, tehát d — 1, b és c meghatározható; b = % ; c = 3/

2. Behelyettesítve ezeket az értékeket a (45) egyenletbe : Q = k s gV

2 (46) a Bazin-bukó vízszállítását meghatározó ismeretes összefüggés. Nyilvánvaló, hogy a ksgV^/2 kifejezés szintén invariáns. A fentebb említett Fourier-tétel a kísérlettel vagy elméleti alapon meghatározott összefüggések helyességének ellenőrzésénél jó szolgálatot tesz. 9. Invariáns számok meghatározása determinánsok segítségével'

9* Ennek a módszernek az alapgondolata következő : Jellemezzen valamely vizsgált jelenséget, a következő hat mennyiség : v . . . sebesség, l ... hosszúság, F .. . erő, q ... sűrűség, 77 . .. dinamikai viszkozitás, g. .. nehézségi gyorsulás, és alkalmazzuk az M, L, T alapmértékegységrendszert. Ebben az esetben a. fenti mennyiségek dimenzióit szemléletesen a következő táblázatban foglalhatjuk össze : V l F e v ; g M 0 0 ] 1 1 1 0 L 1 1 1 —3 —1 i 1 T — 1 0 2 0 -1 1-2 A matematikában a számok derékszögű rendszerét mátrixnak nevezzük. Ha a mátrix sorainak száma megegyezik az oszlopok számával, a mátrixot négyzetesnek mondjuk. Valamely mátrixból alkotott négyzetes mátrix determinánsát nevezzük az eredeti mátrix determinánsának. Ha valamely determináns valamely sora vagy oszlopa zérus, a determináns értéke is zérus. Van azonban olyan eset is, amikor valamely determináns értéke zérus, jóllehet, sorai vagy oszlopai között zérus nincsen. Ez az eset előfordul a dimenziókat táblázatosan feltüntető, úgynevezett dimenziómatrixnál is. Ha a dimenziómatrix tartalmaz egy r-rendű nem zérus determinánst úgy, hogy az összes r-nél magasabbrendű determináns értéke zérus, a mátrix rendszáma r. Például a fenti dimenziómatrix utolsó három oszlopából képezhető determináns értéke — 3^0, tehát a mátrix rendszáma három, ugyanis nem lehet belőle olyan háromnál magasabbrendű determinánst képezni, amelynek értéke zérustól eltérő lenne. Mindezek figyelembevételével Langhaar a következő szabályt állította fel : valamely jelenséget jellemző változók teljes sorozatából képezhető dimenziónélküli csoportok számát megkapjuk, ha a változó számából levonjuk a dimenziómatrix rendszámát. Ez a tétel matematikailag bizonyítható és általánosabb érvényű, mint a Buckingham-íéle, a dimenziónélküli csoportok számát az alapmértékegységek számához kötő szabály. A fenti esetben tehát, mivel a mátrix rendszáma r = 3, a változók száma pedig n — 6, n—r = 3 dimenzió nélküli csoport képezhető. A fenti tétel helyessége a következő meggondolás alapján könnyen belátható : Ha valamely mátrix valamely sora vagy oszlopa előállítható, mint a mátrix másik két sorának vagy oszlopának lineáris kombinációja, ezt a sort vagy oszlopot lineárisan függőnek, egyébként lineárisan függetlennek nevezzük. Pél- dául nézzük a'következő mátrixot. : 12 13 5 6 ! 1 —1 4 7 0 • j 5 10 0 —1 24 Ha ennek első sorát néggyel, a másodikat pedig—3-al megszorozzuk és a kettőt összevonjuk, eredményül a harmadik sort kapjuk. A harmadik sor tehát az első kettőnek lineáris kombinációja. Abban az esetben, lia a mátrix csupán két sorból áll, a lineáris függés aiányt jelent a két sor között. Ha mostmár ez utóbbi mátrixból harmadrendű determinánst képezünk, annak harmadik sora zérussá tehető, tehát a determináns értéke zérus. Ha tekintetbe vesszük azt a feltételt, hogy a kapott, csoportok dimenziónélküliek legyenek, tehát M, L és T hatványkitevői zérussal legyenek egyenlőek, a dimenziómatrixból annyi homogén lineáris egyenletet képezhetünk, amennyi az alapmértékegységek száma, az egyenletek ismeretleneinek száma viszont a jelenséget jellemző változók számával lesz egyenlő. Az egyenletrendszer határozottá, válik, ha annyi ismeretlen szám-