Forrás, 1991 (23. évfolyam, 1-12. szám)
1991 / 5. szám - Szávai Géza: Aréna (Metaforatenger)
(2) Jó ötlet. Természetesen megoldhatjuk kicsi kis problémánkat kevésbé „empirikusan” is, inkább „deduktiven”. Arra gondolok, hogy kevesebb találgatással, több okoskodással. Lássunk ilyen megoldást: A gazda különleges pillanatban lepi meg állatait; a tyúkok fél lábukon, a nyulak hátsó lábukon állanak. Ebben a figyelemre méltó helyzetben éppen lábaik felét használják, tehát 70-et. A 70-es számban a tyúkok fejenként egyszer, a nyulak fejenként kétszer jönnek számításba. Vonjuk le a 70-ből az összes fej 50-es számát, akkor a nyúlfejek száma marad meg, vagyis 70 — 50 = 20 a nyúl! És természetesen 30 a tyúk. Ilyen megoldás akkor is sikerrel jár, ha kicsi kis problémánkban az előbbi számok (50 és 140) helyére kevésbé egyszerűeket teszünk. Ez a megoldás (kevésbé kedélyes formában) igen szellemes, a helyzet világos meglátása és egy szemernyi ötletesség kellett hozzá. Gratulálnunk kell annak a 14 éves kamasznak, aki magától rájön! A jó ötletek nagyon ritkák — nagy szerencse, ha néha rábukkanunk egyre-egyre. Pólya György ezek után folytatja a további megoldáslehetőségek számbavételét. Mi azonban ragadjunk le a másodiknál, a Jó ötletnél... Az ötlet — a képzeletbeli művelet — felvillantása után Pólya mindjárt matematikai műveletvégzésbe kezd. Mivel megeshet, hogy ez utóbbinak a fokozatai nem egészen áttekinthetőek, hadd hagyatkozzunk még egy ideig a képzeletünkre is, hogy a matematikai műveletek tisztábban állhassanak előttünk. A gazda azért szeretné fél-(azaz egy és két) lábon látni az állatokat, mert így félreérthetetlen, egyértelmű megfeleltetésre is módja van: a fél lábon álló tyúkok esetében 1 fejnek 1 láb felel meg. A következő lépés a katonás (matematikus) rendteremtés lenne: — Egyfejűek-egylábúak balra, egyfejűek-kétlábúak tőlük jobbra, sorakozó! A tyúkok és nyulak a helyükre ugrálnának, s bár még mindig nem tudná a gazda, hány tyúkja és hány nyula van, a rendezettség folytán annyi már bizonyos volna: balra vannak a tyúklábak és tyúkfejek, tőlük jobbra a nyúllábak és nyúlfejek . . . Azaz egy felső sorban: 50 fej, egy alatta levő sorban 70 láb. De most már balról jobbra haladva a fejekhez lábakat rendelhetünk — azaz a lábak és fejek összeillesztése révén kezdünk tyúkokat és nyulakat „kiugratni a bokorból”. Az 50 darabból álló fejsor bal oldalán egy fejhez egy lábat rendelünk, balról jobbra haladva ... És akkor jobbra is pillantunk: az 50 fejtől jobbra (az „egy az egyhez” megfeleltetés lehetőségén egyértelműen túl!) húsz „szabad” lábat látunk. Ezek nyilván csak nyúllábak lehetnek, mert csak így csatolhatóak fejhez: kettesével. A 20 szabad lábhoz tehát még 20-at hozzá kell adnunk a 70-ből. Ez a 40 láb bizonyosan nyúlláb. Ebből következően 50-ből 20 fej: nyúlfej. Marad a fejek sorában: 30, a lábak sorában szintén 30 -— egy az egyhez megfeleltetéssel: tyúk. A feladat akár geometrikusán is elképzelhető-megoldható: egy szalagra két (párhuzamos) sorban, egymástól egyenlő távolságra a fejek és lábak számának megfelelő vonalakat húzunk. Balról is, jobbról is visszahajtjuk a szalag végét. Balról 30 felső sorbeli vonal fog megfelelni 30 alsó sorbeli vonalnak — jobbról pedig az ötven felső sorbeli vonal végétől számított „magányos”, alsósorbeli 20 vonalat visszahajtva: éppen 20 vonalat foglalhat le a felső sorból és 20-at az alsó sorból.. . És most a műveleteket félretéve, figyeljünk a helyzetre. Nyilvánvaló, hogy a felületes szemlélő is észreveszi: a feladatmegoldás folyamatában nagyon is jelen van a játékos képzelet teremtő — ez esetben egyszerűsítő — ereje, mely fél lábra állít egy egész tyúk- és nyúlsereget. De a helyzet az, hogy a képzelődés és számigálás mélyén van valami, amit természetes ösztönnel annyira észrevétlenül fogadunk el, hogy ritkán, szinte soha nem is tudatosítunk. Azt ugyanis, hogy miközben képzelődünk és számigálunk: tudatunk mélyén egymás mellett „hányódnak” — illesztésre várva — nyúllábak, nyúlfejek, tyúklábak, tyúkfejek. S miközben oda sem figyelünk, a kombinatorika törvényei szerint illeszkedhet tyúkfejhez nyúlláb, nyúlfejhez tyúkláb. 82
